Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7171 / 1255 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 8:

Многомерные распределения

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >
Аннотация: Совместные распределения двух и более случайных величин. Функция распределения случайного вектора. Дискретные и абсолютно непрерывные совместные распределения. Связь плотности совместного распределения и маргинальных плотностей. Роль совместного распределения. Независимость случайных величин

Совместное распределение

Пусть случайные величины \xi_1,\,\dots,\,\xi_n заданы на одном вероятностном пространстве \langle\Omega,\,\mathcal
F,\,\Prob\rangle.

Определение 28. Функция

F_{\xi_1,\,\ldots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)=
\Prob(\xi_1<x_1,\,\dots,\,\xi_n<x_n)
называется функцией распределения вектора (\xi_1,\,\dots,\,\xi_n) или функцией совместного распределения случайных величин \xi_1,\,\dots,\,\xi_n.

Перечислим свойства функции совместного распределения. Для простоты обозначений ограничимся вектором (\xi_1,\,\xi_2) из двух величин.

(F0) Для любых x_1,\,x_2 верно неравенство: 0\le F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)\le 1.

(F1) F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2) не убывает по каждой координате вектора (x_1,\,x_2).

(F2) Для любого i=1,\,2 существует \lim\limits_{x_i\to-\infty}F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)=0. Существует двойной предел \lim\limits_{x_1\to+\infty}\lim\limits_{x_2\to+\infty}F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)=1.

(F3) Функция F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2) по каждой координате вектора (x_1,\,x_2) непрерывна слева.

(F4) Чтобы по функции совместного распределения восстановить функции распределения \xi_1 и \xi_2 в отдельности, следует устремить мешающую переменную к +\infty:

\begin{equation} 
\lim\limits_{x_1\to+\infty}F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)=
F_{\xi_2}(x_2),\quad
\lim\limits_{x_2\to+\infty}F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)=
F_{\xi_1}(x_1).
\end{equation} ( 14)

Доказательство всех этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю. Но теперь свойств (F0)-(F3) не хватает для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих свойств для некоторой функции F:\mathbb R^2\to\mathbb R не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.

Упражнение. Доказать, что функция

F(x_1,\, x_2)=
\begin{cases}
0, & \text{ если }\, x_1\le 0\, \text{ или }\, x_2\le 0\, \text{ или }\,
x_1+x_2\le 1, \cr
1, &  \text{ если одновременно }\, x_1>0,\, x_2>0,\, x_1+x_2>1
\end{cases}
удовлетворяет всем свойствам (F0)-(F3), но не является функцией распределения никакого вектора (\xi_1,\,\xi_2) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдется и прямоугольник [a_1,\,b_1)\times[a_2,\,b_2), "вероятность" попасть в который (вычисленная с помощью этой якобы "функции распределения") отрицательна: \Prob(a_1\le \xi_1<b_1,\,\, a_2\le \xi_2<b_2)<0.

Легко убедиться, что вероятность вектору (\xi_1,\,\xi_2) попасть в прямоугольник [a_1,\,b_1)\times[a_2,\,b_2) по функции распределения этого вектора вычисляется так: \Prob(a_1\le \xi_1<b_1,\,a_2\le \xi_2<b_2) =
F(b_1,\,b_2)+F(a_1,\,a_2)-
F(a_1,\,b_2)-F(b_1,\,a_2).

Дополнительно к свойствам (F0)-(F3) от функции F требуют неотрицательности этого выражения (при любых a_1<b_1, a_2<b_2 ).

Типы многомерных распределений

Ограничимся рассмотрением двух типичных случаев: когда совместное распределение координат случайного вектора (\xi_1,\,\xi_2) либо дискретно, либо абсолютно непрерывно. Заметим, что сингулярные совместные распределения тоже не являются редкостью, в отличие от одномерного случая: стоит бросить точку наудачу на отрезок на плоскости, и мы получим сингулярное совместное распределение ( доказать ).

Определение 29. Случайные величины \xi_1, \xi_2 имеют дискретное совместное распределение, если существует конечный или счетный набор пар чисел \{a_i,\,b_j\} такой, что

\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^\infty
\Prob(\xi_1=a_i,\;\xi_2=b_j)=1.
Таблицу, на пересечении i -й строки и j -го столбца которой стоит вероятность \Prob(\xi_1=a_i,\;\xi_2=b_j), называют таблицей совместного распределения случайных величин \xi_1 и \xi_2.

Таблицы распределения каждой из случайных величин \xi_1, \xi_2 в отдельности (таблицы частных, или маргинальных распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью формул

\Prob(\xi_1=a_i)=\sum\limits_{j=1}^\infty
\Prob(\xi_1=a_i,\,\xi_2=b_j),\quad
\Prob(\xi_2=b_j)=\sum\limits_{i=1}^\infty \Prob(\xi_1=a_i,\,\xi_2=b_j).
Так, первое равенство следует из того, что набор \{\xi_2=b_1\}, \{\xi_2=b_2\}, \dots есть полная группа событий, и поэтому событие \{\xi_1=a_i\} раскладывается в объединение попарно несовместных событий:
\{\xi_1=a_i\}=\bigcup_{j=1}^\infty
\{\xi_1=a_i,\,\xi_2=b_j\}.

Определение 30. Случайные величины \xi_1, \xi_2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если существует неотрицательная функция f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y) такая, что для любого множества {B\in\mathfrak\mathfrak {B}(\mathbb R^2)} имеет место равенство

\Prob((\xi_1,\,\xi_2)\in B)=
\mathop{\int\int}\limits_{\!\!B} f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)\,dx\,dy.
Если такая функция f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y) существует, она называется плотностью совместного распределения случайных величин \xi_1,\,\xi_2.


Рис. 8.1.

Достаточно, если двойной интеграл по множеству B читатель будет понимать как объем области под графиком функции f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y) над множеством B в плоскости переменных (x,\, y), как показано на рис. 8.1.

Плотность совместного распределения обладает такими же свойствами, как и плотность распределения одной случайной величины:

(f1) неотрицательность: \displaystyle f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)\ge 0 для любых x,\,y\in\mathbb R;

(f2) нормированность:

\displaystyle\mathop{\int\int}\limits_{\!\mathbb R^2}
f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)\,dx\,dy=1.

Справедливо и обратное: любая функция, обладающая этими свойствами, является плотностью некоторого совместного распределения. Доказательство этого факта ничем не отличается от одномерного случая.

Если случайные величины \xi_1, \xi_2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, то для любых x_1,\,x_2 имеет место равенство

F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)=\Prob(\xi_1<x_1,\,\xi_2<x_2)=
\int\limits_{-\infty}^{x_1}\left(\int\limits_{-\infty}^{x_2}
f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)\;dy\right)dx.

Если совместное распределение абсолютно непрерывно, то по функции совместного распределения его плотность находится как смешанная частная производная: \displaystyle f_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y)=\frac{\partial^2}{\partial
x\partial y}\,
F_{\xi_1,\,\xi_2}(x,\,y) для почти всех (x,\, y).

Из существования плотностей \xi_1 и \xi_2 не следует абсолютная непрерывность совместного распределения этих случайных величин. Например, вектор (\xi,\,\xi) принимает значения только на диагонали в \mathbb R^2 и уже поэтому не имеет плотности распределения (его распределение сингулярно). Обратное же свойство, как показывает следующая теорема, всегда верно: если совместное распределение абсолютно непрерывно, то и частные распределения тоже таковы.

Теорема 24. Если случайные величины \xi_1 и \xi_2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение с плотностью f(x,\,y), то \xi_1 и \xi_2 в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями:

f_{\xi_1}(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x,\,y)\,dy;
\quad
f_{\xi_2}(y)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x,\,y)\,dx.

Для n>2 плотности случайных величин \xi_1,\, \dots,\,
\xi_n по плотности их совместного распределения f(x_1,\,\dots,\,x_n) находятся интегрированием функции f по всем "лишним" координатам.

Доказательство. Например, в силу равенств (14),

F_{\xi_1}(x_1) =\! 
\lim\limits_{x_2\to+\infty}F_{\xi_1,\,\xi_2}(x_1,\,x_2)=
\!\!\int\limits_{-\infty}^{x_1}\!\!\!\left(\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\!f(x,\,y)\,dy\!\right)\!dx=\!\!\int\limits_{-\infty}^{x_1}\!\!f_{\xi_1}(x)\,dx.
Аналогично устанавливается и справедливость второго равенства.

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.