Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 6896 / 1052 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик

Лекция 14: Характеристические функции

< Лекция 13 || Лекция 14: 123
Аннотация: Определение характеристической функции и примеры вычисления. Свойства характеристических функций. Теорема непрерывности для характеристических функций. Доказательство центральной предельной теоремы и закона больших чисел в форме Хинчина

Определение и примеры

В этой лекции i=\sqrt{-1} - мнимая единица, t - вещественная переменная, e^{it}=\cos t+i\sin t - формула Эйлера, {\mathsf E\,}(\eta + i\zeta)={\mathsf E\,}\eta + i\,{\mathsf E\,}\zeta - способ вычисления математического ожидания комплекснозначной случайной величины \eta + i\zeta, если математические ожидания ее действительной ( \eta ) и мнимой ( \zeta ) частей существуют.

Как всегда, модулем комплексного числа z=x+iy называется положительное число |z|=\sqrt{x^2+y^2}, так что \left|e^{it}\right|=1\vphantom{\int_{b_b}}.

Определение 47. Функция \phi_\xi(t)={\mathsf E\,} e^{it\xi} вещественной переменной t называется характеристической функцией случайной величины \xi.

Пример 73. Пусть случайная величина \xi имеет распределение Бернулли с параметром p. Ее характеристическая функция равна

\phi_\xi(t)={\mathsf E\,} e^{it\xi}=e^{it\cdot 0}\,\Prob(\xi=0)+
e^{it\cdot 1}\,\Prob(\xi=1)=1-p + pe^{it}.

Пример 74. Пусть случайная величина \xi имеет биномиальное распределение с параметрами n и p. Ее характеристическая функция равна

\phi_\xi(t)&=&{\mathsf E\,} e^{it\xi}=\sum\limits_{k=0}^n e^{it\cdot k}\,\Prob(\xi=k)
=\sum\limits_{k=0}^n e^{it\cdot k}\,C_n^k\,p^k\,{(1-p)}^{n-k}=\\
&=&\sum\limits_{k=0}^n C_n^k\,{\left(pe^{it}\right)}^k\,{(1-p)}^{n-k}=
{\left(1-p + pe^{it}\right)}^n.
Последнее равенство есть бином Ньютона.

Пример 75. Пусть случайная величина \xi имеет распределение Пуассона с параметром \lambda. Ее характеристическая функция равна

\phi_\xi(t)&=&{\mathsf E\,} e^{it\xi}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}
e^{it\cdot k}\,\Prob(\xi=k)=
\sum\limits_{k=0}^{\infty} e^{it\cdot k}\,\frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}=\\
&=&e^{-\lambda}\sum\limits_{k=0}^{\infty} 
\frac{{\left(\lambda \textstyle e^{it}\right)}^k}{k!}=
e^{-\lambda}e^{\lambda \textstyle e^{it}}=
\exp\{\lambda \left(e^{it}-1\right)\}.

Пример 76. Пусть случайная величина \xi имеет гамма-распределение с параметрами \alpha и \lambda. Ее характеристическая функция равна

\phi_\xi(t)&=&{\mathsf E\,} e^{it\xi}=\int\limits_{0}^{\infty}
e^{it\cdot x}\,f_\xi(x)\,dx=
\int\limits_{0}^{\infty} e^{itx}\,\frac{\alpha^\lambda}{\Gamma(\lambda)}\,
x^{\lambda-1}\,e^{-\alpha x}\, dx= \\
&=&\frac{\alpha^\lambda}{\Gamma(\lambda)}\,\int\limits_{0}^{\infty} 
x^{\lambda-1}\, e^{-x(\alpha-it)}\, dx=
{\left(\frac{\alpha}{\alpha-it}\right)}^{\lambda}=
{\left(1-\frac{it}{\alpha}\right)}^{-\lambda}.
Интеграл мы вычислили с помощью гамма-функции: замена y=x(\alpha-it) дает
\int\limits_{0}^{\infty} 
x^{\lambda-1}\, e^{-x(\alpha-it)}\, dx=
\frac{1}{{(\alpha-it)}^\lambda}\int\limits_{0}^{\infty} 
{y}^{\lambda-1}\, e^{-y}\, dy= 
\frac{\Gamma(\lambda)}{{(\alpha-it)}^\lambda}.

В качестве следствия получим, что для случайной величины \xi с показательным распределением {\mathrm E}_\alpha=\Gamma_{\alpha,\,1} характеристическая функция равна \phi_\xi(t)=\frac{\alpha}{\alpha-it}.

Пример 77. Пусть случайная величина \xi имеет стандартное нормальное распределение. Ее характеристическая функция равна

\phi_\xi(t)&=&
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\,e^{-x^2/2}\,dx
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\,e^{-t^2/2} \, e^{-{(x-it)}^2/2}\,dx= \\
&=& e^{-t^2/2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int\limits_{-\infty}^{\infty} \, e^{-{(x-it)}^2/2}\,d(x-it)\;=\;
e^{-t^2/2}.

При интегрировании мы выделили полный квадрат в показателе экспоненты и вспомнили, что интеграл по \mathbb R от функции \frac{1}{\smash{\sqrt{2\pi}}}\,e^{-u^2/2} равен единице.

Свойства характеристических функций

(Ф1). Характеристическая функция всегда существует:

|\phi_\xi(t)|=\bigl|{\mathsf E\,} e^{it\xi}\bigr|\le 1.

Полезно вспомнить, что даже {\mathsf E\,}\xi существует не всегда.

Доказательство. Воспользуемся свойством {\mathsf D\,}\eta\geq 0, равносильным неравенству \bigl({\mathsf E\,}\eta\mspace{1mu}\bigr)^2\leq{\mathsf E\,}\mspace{-1mu}\eta^2:

|\phi_\xi(t)|^2&=&
\bigl|{\mathsf E\,} \cos(t\xi)+ i{\mathsf E\,} \sin(t\xi)\bigr|^2=
\bigl({\mathsf E\,} \cos(t\xi)\bigr)^2+\bigl({\mathsf E\,} \sin(t\xi)\bigr)^2 \le \\
&\le &{\mathsf E\,} \cos^2(t\xi)+{\mathsf E\,} \sin^2(t\xi) =
{\mathsf E\,} \bigl(\cos^2(t\xi)+ \sin^2(t\xi)\bigr)={\mathsf E\,} 1=1.

(Ф2). По характеристической функции однозначно восстанавливается распределение (функция распределения, плотность или таблица распределения). Другими словами, если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих величин совпадают.

Формулы, с помощью которых по характеристической функции восстанавливается распределение, в анализе называют формулами "обратного преобразования Фурье". Например, если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой, то у случайной величины есть плотность распределения и она находится по формуле

f_\xi(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\,e^{-itx}\,\phi_\xi(t)
\,dt.
Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится.

(Ф3). Характеристическая функция случайной величины a+b\xi связана с характеристической функцией случайной величины \xi равенством

\phi_{a+b\xi}(t)={\mathsf E\,} e^{it(a+b\xi)}=e^{ita}{\mathsf E\,}
e^{i(tb)\xi}=e^{ita}\,\phi_\xi(tb).

< Лекция 13 || Лекция 14: 123
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.