Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 6896 / 1052 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 2:

Элементарная теория вероятностей

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Аннотация: Задание вероятности на дискретном пространстве элементарных исходов. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Существование неизмеримых по Лебегу множеств

Дискретное пространство элементарных исходов

Пространство элементарных исходов назовем дискретным, если множество \Omega конечно или счетно: \Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n, \dots \}.

Так, эксперименты из примеров 1, 2, 3, 5, 6 и 7 (но не 4) приводят к дискретным пространствам элементарных исходов.

Замечание Множество счетно, если существует взаимно-однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных чисел. Счетными множествами являются множество \mathbb N натуральных чисел, множество \mathbb Z целых чисел, множество \mathbb Q рациональных чисел, множество четных чисел и т.д. Множество конечно, если оно состоит из конечного числа элементов.

Событием на таком пространстве удобно считать любое подмножество \Omega.

Чтобы определить вероятность любого события на таком пространстве, присвоим вероятность каждому элементарному исходу в отдельности, т.е. снабдим вероятностями мельчайшие "кирпичики" --- элементарные исходы, из которых составляется любое событие. Вероятность каждого события найдем как сумму вероятностей входящих в него элементарных исходов.

Определение 3. Сопоставим каждому элементарному исходу \omega_{i} число p_{i}\in [0,1] так, чтобы p_1+p_2+\ldots = 1. Число p_i назовем вероятностью элементарного исхода \omega_i. Вероятностью события A называется число

\mathsf P(A) = \sum_{\omega_{i}\,\in\,A} p_{i},
равное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих в множество A. В случае A=\emptyset положим \mathsf P(A)=0.

Замечание Позднее, познакомившись с аксиоматикой теории вероятностей, мы зададим вероятности событий непосредственно, а не через вероятности элементарных исходов. Ведь сложением вероятностей элементарных исходов можно получить лишь вероятность события, состоящего не более чем из счетного числа элементарных исходов (иначе само понятие суммирования не определено). Но на дискретном пространстве элементарных исходов всегда возможно определить вероятности событий согласно определению 3.

Пример 10. В эксперименте из примера 5 монета подбрасывается до первого выпадения герба. Присвоим элементарным исходам следующие вероятности:

\begin{matrix}
\omega_{i}: & \textit{г},\; & \textit{рг},\; & \textit{ррг},\;
& \textit{рррг},\; & \ldots \\[.5mm]
         & \; & \; & \; 
& \;   &  \\[2mm]
     p_{i}: & \;\frac12\,,   &  \;\frac14\,,   &
\;\frac18\,,     & \;\frac{1}{16}\,, & \ldots
\end{matrix}

Проверим, что сумма вероятностей элементарных исходов равна единице: по формуле суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии,

{p\mathstrut}_1+{p\mathstrut}_2+\ldots =
\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^{i}} = 
\frac{1/ 2}{1-1/ 2}=1.
Вероятность cобытия A=\{\omega_2,\,\omega_4,\,\ldots\} (герб выпал при броске с четным номером) равна:
\mathsf P(A)={p\mathstrut}_2 + {p\mathstrut}_4 + \ldots =
\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2i}} = 
\frac{1/ 4}{1-1/ 4}=\frac13.

Заданные выше вероятности соответствуют, как мы увидим в дальнейшем, подбрасыванию правильной монеты. Можно было задать вероятности как-нибудь иначе: например, p_{i} = 2^{i-1}\mspace{-3mu}/3^i. Такие вероятности отвечали бы бросанию утяжеленной монеты, герб на которой выпадает в среднем в одном случае из трех.

Пример 11. На том же самом множестве \Omega=\mathbb N зададим вероятности так: {p\mathstrut}_1=\ldots={p\mathstrut}_{100}=0{,}01, p_{i}=0 для i>100.

Пример 12. На том же \Omega=\mathbb N положим p_1=0{,}3, p_{1372}=0{,}7, остальные p_{i} равны нулю. Читатель легко найдет вероятности событий A=\{1000,
1001,\dots,1500\}\subseteq \Omega и B=\{1, 2,\dots,10\}\subseteq \Omega.

Пример 13. Пусть теперь \Omega=\mathbb N\cup\{0\} - множество целых неотрицательных чисел. Положим

p_{i}=\frac{7^i}{i!}\,e^{-7} \ \text{ для } \
i=0,1,2,\ldots
Проверим, равна ли единице сумма вероятностей всех элементарных исходов. Собрав разложенную в ряд Тейлора экспоненту, получим
\sum_{\omega_i\in\Omega} p_{i}=e^{-7}\cdot\sum_{i=0}^\infty
\frac{7^i}{i!}=e^{-7}e^7=1.

Внимательный читатель уже заметил, что если множество \Omega счетно, но не конечно, присвоить всем элементарным исходам одну и ту же вероятность нельзя. Для конечного же множества \Omega всегда возможно задать одинаковые вероятности исходов, что мы сейчас и сделаем.

Классическое определение вероятности. Частным, но часто встречающимся в жизни случаем дискретного вероятностного пространства является классическая вероятностная схема.

Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа элементов: \Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_N \}{\text,} и из каких-то соображений можем считать элементарные исходы равновозможными. Равновозможность возникает обычно из-за симметрии в эксперименте (симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная игральная кость, отсутствие оснований предпочесть один результат эксперимента другому).

Говорят, что эксперимент описывается классической вероятностной моделью, если пространство его элементарных исходов состоит из конечного числа равновозможных исходов. Тогда вероятность любого элементарного исхода равна \frac1N. Если событие A=\{\omega_{i_1},\ldots,\omega_{i_k}\} состоит из k элементарных исходов, то вероятность этого события равна отношению \frac{k}{N}:

\begin{equation} 
\mathsf P(A)=p_{i_1}+\ldots+p_{i_k}=
k\cdot\mspace{-3mu}\frac1N = 
\frac{|A|}{|\Omega|}.
\end{equation} ( 2.1)
Здесь символом |A| обозначено число элементов конечного множества A.

Формулу \mathsf P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} называют классическим определением вероятности и читают так: "вероятность события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу равновозможных исходов".

Итак, вычисление вероятности в классической схеме сводится к подсчету общего числа исходов (шансов) и числа исходов, благоприятствующих событию. Число шансов вычисляют с помощью формул комбинаторики.

Рассмотрим стандартные урновые схемы: из n шаров выбирают k шаров. Будем исходить из предположения о том, что появление любого шара равновозможно. Тогда три схемы: схема выбора с возвращением и с учетом порядка, выбора без возвращения и с учетом порядка, а также выбора без возвращения и без учета порядка, описываются классической вероятностной моделью. Общее число равновозможных элементарных исходов в этих схемах равно соответственно n^k{\text,} A_n^k и C_n^k.

Как показывает следующий пример, последняя схема - схема выбора с возвращением и без учета порядка - имеет неравновозможные исходы. Поэтому классическое определение вероятности для нее не применимо.

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.