Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7150 / 1241 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 2:

Элементарная теория вероятностей

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >

Пример 14. Рассмотрим выбор двух шариков из двух или, что то же самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится четыре, и они равновозможны, т.е. имеют вероятности по \frac{1}{4}

(\textit{герб, герб}),  (\textit{решка, решка}),  
(\textit{решка, герб}),  (\textit{герб, решка}).
Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента и получить три исхода:
(\textit{два герба}),   (\textit{две решки}), 
  (\textit{один герб и одна решка}).
Первые два исхода имеют вероятности по \frac{1}{4} а вероятность последнего равна \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} Видим, что при выборе с возвращением и без учета порядка элементарные исходы оказываются неравновозможными.

Упражнение. Сравнить примеры 2 и 3. В каком из них перечислены равновозможные элементарные исходы? Найти вероятности всех элементарных исходов в примере 3. Равны ли они \frac{1}{21}. Равны ли они?

В следующем примере разобрана классическая задача, приводящая к так называемому гипергеометрическому распределению.

Пример 15. Из урны, в которой K белых и N-K черных шаров, наудачу и без возвращения вынимают n шаров, где n\le
N ( рис. 2.1). Термин "наудачу" означает, что появление любого набора из n шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано k белых и n-k черных шаров.

Выбор n шаров из N

Рис. 2.1. Выбор n шаров из N

Решение. Результат эксперимента - набор из n шаров. Можно не учитывать порядок следования шаров в наборе. Общее число элементарных исходов по теореме 3 равно |\Omega|=C_{N}^{n}. Обозначим через A_k событие, состоящее в том, что в наборе окажется k белых шаров и n-k черных. Пусть k\le
K и {n\,{-}\,k\le N\,{-}\,K}{\text,} иначе \mathsf
P(A_k)=0. Есть ровно C_K^k способов выбрать k белых шаров из K и C_{N-K}^{n-k} способов выбрать n-k черных шаров из {N\,{-}\,K.} Каждый возможный набор выбранных белых шаров можно комбинировать с каждым возможным набором черных. По теореме о перемножении шансов число благоприятных исходов равно |A_k|=C_K^k\,C_{N-K}^{n-k} , и вероятность события A_k такова:

\begin{equation} \label{2.2}
\mathsf
P(A_k)=\frac{|A_k|}{|\mspace{4mu}\Omega\mspace{4mu}|}=\frac{C_{K}^{k}\,C_{N-K}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\,.
\end{equation} ( 2.2)

Вычисляя вероятность событий A_k{\text,} мы сопоставили каждому набору из k белых и n-k черных шаров вероятность получить этот набор при выборе шаров из урны. Набор вероятностей (2.2) называется гипергеометрическим распределением вероятностей.

Здесь мы в первый, но далеко не в последний раз встретились с термином "распределение" вероятностей. Это слово всегда обозначает некий способ разделить (распределить) общую единичную вероятность между какими-то точками или множествами {на вещественной прямой}.

Пример 16. На пяти карточках написаны буквы А, А, Л, М, П. Найти вероятность того, что при случайной расстановке этих карточек в ряд получится слово ЛАМПА.

Решение. Всего возможно |\Omega|=5! перестановок карточек. Заметим, что перестановка двух карточек с буквой А не меняет слова. Поэтому есть два благоприятных исхода: \text{ЛА}_1\text{МПА}_2 и \text{ЛА}_2\text{МПА}_1. Вероятность получить нужное слово равна \frac{2}{5!}=\frac{1}{60}.

Пример 17. Игральная кость подбрасывается трижды. Найти вероятность получить в сумме четыре очка.

Решение. Общее число равновозможных элементарных исходов есть |\Omega|=6^3. Сумма очков равна четырем, если на двух костях выпали единицы, и на одной - двойка. Этому событию благоприятствуют три элементарных исхода: (1,1,2),\,(1,2,1),\,(2,1,1). Поэтому искомая вероятность равна \frac{3}{6^3}=\frac{1}{72}.

Результаты многих экспериментов нельзя описать дискретным множеством точек. Например, бросание монеты на стол в примере 4 приводит к пространству элементарных исходов, совпадающему с множеством точек стола. Дальность броска копья спортсменом - величина с положительными значениями на числовой прямой, и т.д. Рассмотрим один из способов задания вероятностей на таком пространстве исходов.

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.