Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 6896 / 1052 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 7:

Основные семейства распределений

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Аннотация: Основные дискретные и абсолютно непрерывные распределения: вырожденное, Бернулли, биномиальное, геометрическое, Пуассона, гипергеометрическое, равномерное, показательное, нормальное, гамма, Коши, Парето

Примеры дискретных распределений

Вырожденное распределение. Говорят, что случайная величина \xi имеет вырожденное распределение в точке c\in\mathbb R, и пишут: \xi{\,\sim\,} \mathrm I_c, если \xi принимает единственное значение c с вероятностью 1, т.е. \Prob(\xi=c)=1. Функция распределения \xi имеет вид

F_\xi(x)=\Prob(\xi&<x)=\Prob(c&<x)=\begin{cases} 0, &
\text{если } x\le c, \cr
                                               1, & \text{если } x>c.
\end{cases}

Распределение Бернулли. Говорят, что случайная величина \xi имеет распределение Бернулли с параметром p, и пишут: \xi{\,\sim\,} {\mathrm B}_p, если \xi принимает значения 1 и 0 с вероятностями p и 1-p соответственно. Случайная величина \xi с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха p: ни одного успеха или один успех. Таблица распределения \xi имеет вид:

\begin{tabular}{l|c|c}
$\xi$      &   0  &  1  \cr \hline
$\Prob\vphantom{b^b}$ & $1-p$ &$p$  
\end{tabular}\,.

Функция распределения случайной величины \xi такова:

F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\begin{cases} 0, & \text{если }
x\le 0, \cr
                                  1-p, & \text{если } 0<x\le 1, \cr
                                    1, & \text{если } x>1.
\end{cases}

Биномиальное распределение. Говорят, что случайная величина \xi имеет биномиальное распределение с параметрами n\in \mathbb N и p\in(0,\,1), и пишут: \xi{\,\sim\,} {\mathrm B}_{n,p}, если \xi принимает значения k=0,\,1,\,\dots,\,n с вероятностями \Prob(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}. Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения \xi имеет вид

\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c}
$\xi$        &   0  &  1  &  \ldots  &
 $k$  & \ldots &  $n$  \\ \hline
$\Prob\vphantom{\int^b}$ & $(1-p)^n$ &
$np(1-p)^{n-1}$  &  \ldots  &
$C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ & \ldots & $p^n$
\end{tabular}\,.
Например, количество выпавших шестерок при двадцати подбрасываниях правильной игральной кости имеет биномиальное распределение {\mathrm B}_{20, \frac16}. Распределение Бернулли совпадает с распределением {\mathrm B}_{1, p}.

Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величина \tau имеет геометрическое распределение с параметром p\in(0,\,1), и пишут \tau \sim {\mathrm G}_p, если \tau принимает значения k=1,\,2,\,3,\,\dots с вероятностями {\Prob(\tau=k)}=p (1-p)^{k-1}. Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения \tau имеет вид

\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c}
$\tau$      &  1  &  2  &  \ldots  &
 $k$  & \ldots  \\ \hline 
$\Prob\vphantom{\int^b}$ & $p$ &
$p(1-p)$ &  \ldots  & $p(1-p)^{k-1}$ & \ldots 
\end{tabular}\,.

Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величина \xi имеет распределение Пуассона с параметром \lambda>0, и пишут: \xi{\,\sim\,} \mathrm \Pi_{\lambda}, если \xi принимает значения k=0,\,1,\,2,\,\dots с вероятностями \Prob(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}. Таблицу распределения \xi читатель может нарисовать самостоятельно.

Распределение Пуассона возникло в теореме Пуассона как предельное распределение для числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли, когда число испытаний n увеличивается, а вероятность успеха уменьшается обратно пропорционально n. Поэтому распределение Пуассона называют иначе распределением числа редких событий.

Гипергеометрическое распределение. Говорят, что случайная величина \xi имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N и K, где K \le N, n \le N, если \xi принимает целые значения k такие, что {0\le k\le K}, 0\le n-k\le N-K, с вероятностями \Prob(\xi=k)={C_K^k C_{N-K}^{n-k}}\,/\,{C_N^n}. Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N-K не белых.

Упражнение. Построить графики функций распределения для вырожденного распределения, распределений Бернулли и Пуассона, биномиального и геометрического распределений.

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.