Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7158 / 1243 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 7:

Основные семейства распределений

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >

Гамма-распределение. Говорят, что \xi имеет гамма-распределение с параметрами \alpha>0, \lambda>0, и пишут: \xi{\,\sim\,}\Gamma_{\alpha,\,\lambda}, если \xi имеет следующую плотность распределения:

f_\xi(x)=\begin{cases}
0, & \text{ если }\, x\le 0, \cr
c\cdot x^{\lambda-1}e^{-\alpha x}, & \text{ если }\, x> 0, 
\end{cases}
Функция распределения нормального распределения

Рис. 7.4. Функция распределения нормального распределения
где постоянная c вычисляется из свойства (f2) плотности так:
1=\int\limits_{-\infty}^\infty f_\xi(x)\,dx=
c\int\limits_0^\infty x^{\lambda-1}e^{-\alpha x}\,dx=
\frac{c}{\alpha^\lambda}\int\limits_0^\infty (\alpha
x)^{\lambda-1}e^{-\alpha x}\,d(\alpha x)
=\frac{c}{\alpha^\lambda}\,\Gamma(\lambda),
откуда c={\alpha^{\lambda}}\,/\,{\Gamma(\lambda)}. Здесь через \Gamma(\lambda) обозначен интеграл
\Gamma(\lambda)=\int\limits_0^\infty
x^{\lambda-1}e^{-x}\,dx=(\lambda-1)
\Gamma(\lambda-1),
называемый гамма-функцией Эйлера; \Gamma(k)=(k-1)! при целых положительных k, \Gamma(1)=1. Замена в интеграле Пуассона даст \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}.

Полезно отметить, что показательное распределение есть частный случай гамма распределения: {\mathrm E}_\alpha=\Gamma_{\alpha,\,1}.

Функцию распределения гамма-распределения можно записать, вообще говоря, только в виде интеграла:

\quad F_\xi(x)=\frac{\alpha^{\lambda}}{\Gamma(\lambda)}\;
\int\limits_0^x \;t^{\lambda-1}e^{-\alpha t} dt.

Распределение Коши. Говорят, что \xi имеет распределение Коши с параметрами a\in\mathbb R, \sigma>0, и пишут: \xi{\,\sim\,}\textrm{C}_{a,\sigma}, если \xi имеет следующую плотность распределения:

f_\xi(x)=\frac1\pi\,\frac{\sigma}{\sigma^2+(x-a)^2}\,
\text{  для любого   }  x\in\mathbb R.

Плотность распределения Коши симметрична относительно прямой x=a и похожа на плотность нормального распределения, но имеет более толстые "хвосты" на \pm\infty. Функция распределения случайной величины \xi с распределением Коши равна F_\xi(x)=\frac12+\frac1\pi\,\textrm{arctg}\,\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr) при всех x.

Распределение Парето. Говорят, что \xi имеет распределение Парето с параметром \alpha >0, если \xi имеет следующие плотность и функцию распределения:

f_\xi(x)=\begin{cases}
\frac{\alpha}{x^{\alpha+1}}, & \text{ если }\, x \ge 1,\cr
0, & \text{ если }\, x < 1; 
\end{cases}\qquad
F_\xi(x)=\begin{cases}
1-\frac{1}{x^\alpha}, & \text{ если }\, x \ge 1,\cr
0, & \text{ если }\, x < 1. 
\end{cases}
Часто рассматривают более широкий класс распределений Парето, сосредоточенных не на [1,\,\infty), а на [c,\,\infty) при c>0.

С другими абсолютно непрерывными распределениями (хи-квадрат Пирсона, распределениями Стьюдента, Фишера, Колмогорова, Лапласа, Вейбулла, логарифмически нормальным и некоторыми другими) читатель познакомится при изучении математической статистики.

Свойства нормального распределения. Рассмотрим отдельно свойства самого главного распределения. Сначала установим связь между функциями \Phi_{a,\,\sigma^2}(x) и \Phi_{0,\,1}(x).

Свойство 14. Для любого x\in \mathbb R справедливо соотношение:

\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr).

Доказательство. Действительно,

\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\!\int\limits_{-\infty}^x
{\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e}^{-(t-a)^2/\,2\sigma^2}dt 
=\!{\int\limits_{-\infty}^{\tfrac{x-a}{\sigma\mathstrut}}}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/\mspace{2mu}2}dy
=\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr).
Мы сделали замену переменных y=\frac{t-a}{\sigma}, dt=\sigma\,dy, верхняя граница интегрирования t=x при такой замене перешла в y=\frac{x-a}{\sigma}.

То же самое для случайных величин можно сформулировать так:

Следствие 2. Если \xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}, то \eta=\frac{\xi-a}{\sigma}\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{0,\,1}.

Доказательство. Убедимся, что случайная величина \eta имеет функцию распределения \Phi_{0,\,1}(x):

\begin{eqnarray*}
F_\eta(x)&=&\Prob(\eta<x)=\Prob\Bigl(\frac{\xi-a}{\sigma}<x\Bigr)=
\Prob(\xi<\sigma x+a)\,= \\ 
&=&\Phi_{a,\,\sigma^2}(\sigma x+a)= 
\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{\sigma x+a-a}{\sigma}\Bigr)=\Phi_{0,\,1}(x).
\end{eqnarray*}

Следствие 3. Если \xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}, то

\Prob(x_1<
\xi<x_2)=\Phi_{a,\,\sigma^2}(x_2)-\Phi_{a,\,\sigma^2}(x_1)=
\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x_2-a}{\sigma}\Bigr)-
\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x_1-a}{\sigma}\Bigr).

Видим, что вычисление любых вероятностей для нормально распределенной случайной величины сводится к вычислению функции распределения \Phi_{0,\,1}(x). Она обладает следующими свойствами ( нарисуйте их на графике плотности стандартного нормального распределения ).

Свойство 15. \Phi_{0,\,1}(0)=0{,}5, \Phi_{0,\,1}(-x)=1-\Phi_{0,\,1}(x).

Свойство 16. Если \xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{0,1}, то для любого x>0

\Prob(|\xi|<x)=1-2\Phi_{0,\,1}(-x)=2\Phi_{0,\,1}(x)-1.

Доказательство. При x>0 имеем

\begin{multiple*}
\Prob(|\xi|<x)&=&\Prob(-x<\xi<x)=
\Phi_{0,\,1}(x)-{\Phi_{0,\,1}(-x)}=\\=1-2\Phi_{0,\,1}(-x)=2\Phi_{0,\,1}(x)-1.\qquad
\end{multiple*}

Свойство 17. (Правило трех сигм) Если \xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}, то

\Prob(|\xi-a|\ge 3\sigma)=0{,}0027
 \textup{ \, (  совсем мало  )}.

Доказательство. Перейдем к противоположному событию:

\Prob\bigl(|\xi-a|\ge
3\sigma\bigr)=1-\Prob\bigl(|\xi-a|<3\sigma\bigr)=
1-\Prob\biggl(\Bigl|\frac{\xi-a}{\sigma}\Bigr|<3\biggr).
Но величина \eta=\frac{\xi-a}{\sigma\mathstrut} имеет стандартное нормальное распределение и можно использовать свойство 16
1-\Prob(|\eta|<3) 
=2\Phi_{0,\,1}(-3)=
2\cdot 0{,}00135=0{,}0027.
Число \Phi_{0,\,1}(-3)=0{,}00135 полезно отыскать в таблице.

Большого смысла в запоминании числа 0,0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах от a-3\sigma до a+3\sigma.

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.