Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 6930 / 1059 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 7:

Основные семейства распределений

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >

Примеры абсолютно непрерывных распределений

Равномерное распределение. Говорят, что \xi имеет равномерное распределение на отрезке [a,\,b], и пишут: \xi \sim U_{a,b}, если плотность распределения \xi постоянна на отрезке [a,\,b] и равна нулю вне него:

f_\xi(x)=\begin{cases} 
          \frac{1}{b-a}, & \textrm{\, если\, } x\in[a,\,b], \cr
                       \,0, & \textrm{\, если\, } x\not\in[a,\,b].
\end{cases}
Площадь под графиком этой функции равна единице, f_\xi(x)\ge 0. Поэтому f_\xi(x) является плотностью распределения.

Случайная величина \xi \sim U_{a,b} имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке [a,\,b]. Вычислим функцию распределения случайной величины \xi:

F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^x
\!\!f_\xi(t) dt=
\begin{cases} \int\limits_{-\infty}^x 0\ dt, &  x < a, \cr
\int\limits_{-\infty}^a 0\ dt +\int\limits_{a}^x \frac{1}{b-a} dt, & 
a\le x\le b, \cr
\int\limits_{-\infty}^a 0\ dt+ \int\limits_{a}^b
\frac{1}{b-a} dt+\int\limits_{b}^x 0\ dt, & x>b. \end{cases}
Графики плотности и функции распределения равномерного распределения на отрезке [a, b] изображены на рис. 7.1

Плотность и функция распределения Ua, b

Рис. 7.1. Плотность и функция распределения Ua, b

Заметьте, что в точках a и b функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.

Показательное распределение. Говорят, что \xi имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром \alpha>0, и пишут: \xi{\,\sim\,}{\mathrm E}_\alpha, если \xi имеет следующую плотность распределения:

f_\xi(x)=\begin{cases} 0, &  \text{ если }\, x < 0,
\cr
    \alpha e^{-\alpha x}, &  \text{ если }\,  x\ge 0.  \end{cases}
Функция распределения случайной величины \xi непрерывна:
F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\begin{cases} 0, &  \text{ если
}\, x < 0, \cr
                      1-e^{-\alpha x}, &  \text{ если }\, x\ge 0.
\end{cases}

Графики плотности и функции распределения показательного распределения с параметром \alpha приведены на рис. 7.2

Плотность и функция распределения

Рис. 7.2. Плотность и функция распределения

Плотность показательного распределения равна нулю на отрицательной полуоси, поэтому вероятность события \{\xi < 0\} нулевая - случайная величина с показательным распределением не может быть отрицательна. К тому же плотность отлична от нуля на всей положительной полуоси, поэтому случайная величина с показательным распределением может принимать сколь угодно большие положительные значения: для всякого x вероятность события \{\xi>x\} не равна нулю.

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство "нестарения" (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

Теорема 23. Пусть \xi{\,\sim\,}{\mathrm E}_\alpha. Тогда для любых x,\,y>0

\begin{equation} 
\Prob(\xi>x+y | \xi>x)=\Prob(\xi>y).
\end{equation} ( 7.1)

Нормальное распределение. Говорят, что \xi имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами a и \sigma^2, где a\in\mathbb R, \sigma>0, и пишут: \xi{\,\sim\,}{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}, если \xi имеет следующую плотность распределения:

f_\xi(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
 e^{-\tfrac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}, 
\quad  x\in\mathbb R.

На рис. 7.3 приведены графики плотностей нормальных распределений с одним и тем же параметром a и разными значениями параметра \sigma.

Плотности нормальных распределений

Рис. 7.3. Плотности нормальных распределений

Убедимся, что f_\xi(x) является плотностью распределения. Так как f_\xi(x)>0 для всех x\in\mathbb R, то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):

\begin{multiple}
\int\limits_{-\infty}^\infty f_\xi(x)\,dx&=&
\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ 
e^{-\tfrac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}\,dx=
\left[\begin{array}{c}\text{ замена переменных } \cr
t=\frac{x-a}{\sigma}, \, dx=\sigma\,dt 
\end{array}\right]\, =\\\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~
e^{-t^2/2}\sigma\,dt=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}~ \int\limits_{-\infty}^\infty
e^{-t^2/2}\,dt\,=\frac{I}{\sqrt{2\pi}}\,=1, 
\end{multiple}
где через I обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона)
I=\int\limits_{-\infty}^\infty
e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}.

Нормальное распределение {\mathrm N}_{0,\,1} с параметрами a=0 и \sigma^2=1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения равна f_\xi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}.

Мы будем использовать специальное обозначение \Phi_{a,\,\sigma^2}(x) для функции распределения нормального закона {\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}\vphantom{a^{a^a}} ( рис. 7.3). Первообразная функции e^{-x^{\smash{2}}} не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функцию \Phi_{a,\,\sigma^2}(x) можно записать лишь в виде интеграла

\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\int\limits_{-\infty}^x
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\tfrac{(t-a)^2}{2\sigma^2}} dt, \qquad
\Phi_{0,\,1}(x)=\int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\tfrac{t^2}{2}} dt.
Функция \Phi_{0,\,1}(x) табулирована, т.е. ее значения при различных вещественных x вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.