Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 6896 / 1052 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 9:

Преобразования случайных величин

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >
Аннотация: Преобразования случайных величин: линейные, монотонные, квантильные. Функции от двух случайных величин. Формула свертки. Устойчивость распределений относительно суммирования

Измеримость функций от случайных величин

Пусть на вероятностном пространстве \langle\Omega,\,\mathcal
F,\,\Prob\rangle задана случайная величина \xi. Если g(\xi) - случайная величина, то полезно уметь находить распределение g(\xi) по распределению \xi. Эта проблема возникает, например, при моделировании случайных величин с заданным распределением. Датчик случайных чисел может генерировать лишь значения случайных величин с равномерным распределением. Если же нам необходимы значения показательно распределенной случайной величины, нужно найти преобразование, которое из равномерного распределения сделает показательное.

Вопрос об измеримости g(\xi) решает следующая теорема.

Теорема 26. Пусть \xi - случайная величина, а g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R - борелевская (измеримая по Борелю) функция, т.е. такая, что для всякого борелевского множества B его прообраз g^{-1}(B) есть снова борелевское множество. Тогда g(\xi) - случайная величина.

Доказательство. Проверим, что прообраз любого борелевского множества при отображении g(\xi):\Omega\rightarrow\mathbb R является событием. Возьмем произвольное B\in\mathfrak B: $B\in\mathfrak B(\mathbb R) и положим B_1=g^{-1}(B). Множество B_1 борелевское, так как функция g измерима по Борелю. Но тогда (g(\xi))^{-1}(B)=\xi^{-1}(B_1). Это множество принадлежит \mathcal F, поскольку B_1 - борелевское множество и \xi - случайная величина.

Борелевскими являются все привычные нам функции. Функцией, неизмеримой по Борелю, будет, например, индикаторная функция неизмеримого множества Витали. Вообще говоря, неизмеримые функции суть объекты экзотические, в обычной жизни не встречающиеся.

Заметим, что совершенно аналогично решается вопрос об измеримости функции от нескольких случайных величин, если он принимает значения в \mathbb R или в \mathbb R^k.

Распределения функций от случайных величин

Линейные и монотонные преобразования. Если \xi имеет дискретное распределение, то любая функция g(\xi) от нее также имеет дискретное распределение, и таблица распределения g(\xi) находится просто по определению. Поэтому мы будем рассматривать преобразования случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями.

Пусть случайная величина \xi имеет функцию распределения F_\xi(x) и плотность распределения f_\xi(x). Построим с помощью борелевской функции g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R случайную величину \eta=g(\xi). Требуется найти плотность распределения величины \eta (если таковая существует).

Замечание. Плотность распределения случайной величины {\eta=g(\xi)} существует далеко не при любых функциях g. Так, если функция g кусочно-постоянна, то \eta имеет дискретное распределение.

Для отыскания плотности распределения мы не можем просто продифференцировать функцию распределения, поскольку не знаем, существует ли плотность. Следует доказать, что распределение абсолютно непрерывно. Но доказывая это, мы попутно найдем и плотность распределения. Действительно, у нас есть следующий путь доказательства абсолютной непрерывности распределения. Если для любого x мы представим функцию распределения величины \eta в виде

F_\eta(x)=\int\limits_{-\infty}^x h(y) dy, \quad\textrm{
где }\, h(y)\ge 0,
то в качестве плотности распределения величины \eta можно взять подынтегральную функцию: f_\eta(x)=h(x). Другой путь - продифференцировать функцию распределения и убедиться, что производная является плотностью распределения, т.е. обладает необходимыми для плотности свойствами.

Теорема 27. Пусть \xi имеет функцию распределения F_\xi(x) и плотность распределения f_\xi(x), и постоянная a отлична от нуля. Тогда случайная величина \eta=a\xi+b имеет плотность распределения

f_\eta(x)=\frac{1}{|a|}\,
f_\xi\Bigl(\frac{x-b}{a}\Bigr).

Доказательство. Пусть сначала a>0.

F_\eta(x)=\Prob(a\xi+b<x)=
\Prob\Bigl(\xi<\frac{x-b}{a}\Bigr)=
F_\xi\Bigl(\frac{x-b}{a}\Bigr)=\!\!\int\limits_{\smash{-\infty}}^{(x-b)/a}
\!\!f_\xi(t) dt.
Сделаем замену переменной в последнем интеграле. Переменную t заменим на новую переменную y так: t=\frac{y-b}a. Тогда dt=\frac{dy}a, нижняя граница области интегрирования t=-\infty перейдет в y=-\infty, верхняя граница t=\frac{x-b}a перейдет в y=x. Получим
F_\eta(x)=
\int\limits_{-\infty}^x \frac{1}{a}\,
f_\xi\Bigl(\frac{y-b}{a}\Bigr) dy.
Функция под интегралом есть искомая плотность распределения f_\eta(y) случайной величины \eta=a\xi+b при a>0.

Пусть теперь a<0.

F_\eta(x)=\Prob(a\xi+b<x)=
\Prob\Bigl(\xi>\frac{x-b}{a}\Bigr)=
\!\!\int\limits_{(x-b)/a}^{+\infty}
\!\!f_\xi(t) dt.
Сделаем ту же замену переменной. Но теперь граница интегрирования t=+\infty перейдет в y=-\infty, поскольку a<0. Получим
F_\eta(x)=
\int\limits_x^{-\infty} \frac{1}{a}\, f_\xi\Bigl(\frac{y-b}{a}\Bigr) dy=
\int\limits_{-\infty}^x \frac{1}{|a|}\,
f_\xi\Bigl(\frac{y-b}{a}\Bigr) dy.
Функция под интегралом - плотность распределения f_\eta(y) случайной величины \eta=a\xi+b при a<0.

Из теоремы 27 следуют уже знакомые нам утверждения.

Следствие 4. Если \xi{\,\sim\,}{\mathrm N}_{0,1}, то \eta=\sigma\xi+a
{\,\sim\,}{\mathrm N}_{a,\sigma^2}.

Доказательство. Действительно,

f_{\eta}(x)=\frac{1}{\sigma}\,f_\xi\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr)=
\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\tfrac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}.\quad

Следствие 5. Если \xi{\,\sim\,}{\mathrm N}_{a,\sigma^2}, то \frac{\xi-a}\sigma {\,\sim\,}{\mathrm N}_{0,1}.

Следствие 6. Если \xi{\,\sim\,}{\mathrm U}_{0,\,1}, то a\xi+b{\,\sim\,}{\mathrm U}_{b,\,a+b} при a>0.

Следствие 7. Если \xi{\,\sim\,}{\mathrm E}_\alpha, то \alpha\xi{\,\sim\,}{\mathrm E}_1.

Квантильное преобразование. Полезно уметь строить случайные величины с заданным распределением по равномерно распределенной случайной величине (например, по результату датчика случайных чисел).

Теорема 28. Пусть функция распределения F(x)=F_\xi(x) непрерывна. Тогда случайная величина \eta=F(\xi) имеет равномерное на отрезке [0,\,1] распределение.

Доказательство. Найдем функцию распределения случайной величины \eta. Заметим, что всегда 0\le \eta\le 1. Предположим сначала, что функция F всюду возрастает. Тогда она обратима, и поэтому

\begin{equation} 
F_\eta(x)=\Prob(F(\xi)<x)=\begin{cases}
0, & \textrm{ если } x\le 0, \\
\Prob(\xi<F^{-1}(x)), & \textrm{ если } x\in (0,\,1),\\
1, & \textrm{ если } x\ge 1. 
\end{cases}
\end{equation} ( 16)
Но \Prob(\xi<F^{-1}(x))=F\left(F^{-1}(x)\right)=x, т.е. \eta{\,\sim\,}{\mathrm U}_{0,1}.

Если функция F не является всюду возрастающей, то у нее есть участки постоянства. В этом случае просто обозначим через F^{-1}(x) самую левую точку из замкнутого множества \{t\,|\,F(t)=x\}. При таком понимании "обратной" функции равенства (16) остаются справедливыми вместе с равенством \Prob(\xi<F^{-1}(x))=F\left(F^{-1}(x)\right)=x для любого x\in(0,\,1).

Обратим теорему 28. Следующее утверждение верно не только для непрерывных, но для любых функций распределения F. Обозначим через F^{-1}(x) точную нижнюю грань множества тех t, для которых F(t)\ge x:

F^{-1}(x)=\inf\{t\,|\,F(t)\ge x\}.
Для непрерывной функции F это определение "обратной функции" совпадает с введенным в доказательстве теоремы 28.

Теорема 29. Пусть \eta\,{\,\sim\,}{\mathrm U}_{0,1}, а F - произвольная функция распределения. Тогда случайная величина \xi=F^{-1}(\eta\,) "квантильное преобразование" над \eta имеет функцию распределения F.

Следствие 8. Пусть \eta{\,\sim\,}{\mathrm U}_{0,\,1}. Верны соотношения:

-\frac{1}{\alpha}\ln(1-\eta){\,\sim\,}{\mathrm E}_\alpha, \quad 
a+\sigma\,\tg(\pi \eta - \pi/2){\,\sim\,}\textrm{C}_{a,\sigma}, \quad
\Phi_{0,1}^{-1}(\eta){\,\sim\,}{\mathrm N}_{0,1}.

< Лекция 8 || Лекция 9: 123 || Лекция 10 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.