Числовые характеристики распределений
Математическое ожидание случайной величины
Определение 35.
Математическим ожиданием
случайной величины
с дискретным распределением называется
число


Определение 36. Математическим ожиданием
случайной величины
с абсолютно непрерывным распределением с
плотностью
распределения
называется число


Математическое ожидание (иначе называемое средним значением или
первым моментом) имеет простой физический смысл: если на прямой
разместить единичную массу, поместив в точки массу
(для дискретного распределения) или "размазав" ее с плотностью
(для абсолютно непрерывного распределения),
то точка
будет координатой центра тяжести
прямой.
Пример 48.
Пусть случайная величина равна числу очков, выпадающих при
одном
подбрасывании кубика. Тогда


Пример 49.
Пусть случайная величина - координата точки, брошенной
наудачу
на отрезок
. Тогда

Свойства математического ожидания
Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.
(E1)
Для произвольной борелевской функции
![{\mathsf E\,} g(\xi)=\begin{cases}
\displaystyle\sum\limits_k g(a_k)\Prob(\xi=a_k), &
\!\!\parbox[t]{8.5cm}{если распределение $\xi$ дискретно \\и ряд
абсолютно сходится;} \\[3.3mm]
\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty g(x) f_\xi(x)\,dx, &
\!\!\parbox[t]{8.5cm}{если распределение $\xi$ абсолютно \\ непрерывно
и интеграл \\абсолютно сходится.}
\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/133bc61f82698fb3ac09cfadde0e214c.png)
Доказательство.
Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие)
только для дискретного распределения.
Пусть принимает значения
с
вероятностями


Следствие 10.
Математическое ожидание существует тогда и только тогда,
когда
.
Доказательство. Условием существование математического ожидания является
абсолютная сходимость ряда или интеграла
в определениях 35 и
36. Это в точности есть условие при
.
(E2) Математическое ожидание постоянной равно ей самой: .
(E3) Постоянную можно вынести за знак математического ожидания:

Доказательство. Следует из свойства (E1) при .
(E4) Математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют:

Доказательство.
Пусть случайные величины и
имеют дискретные
распределения со значениями
и
соответственно.
Для борелевской функции
можно доказать
свойство, аналогичное
(E1).
Воспользуемся этим свойством для
:

(E5)
Если п.н., т.е. если
, то
.
Замечание
Сокращение "п.н." читается как "почти наверное" и
означает "с вероятностью ".
По определению, математическое ожидание - это числовая характеристика
распределения. Распределение
же не изменится от изменения случайной величины на множестве нулевой
вероятности.
Поэтому, например, даже если
не при всех
, а на множестве
единичной вероятности, математическое ожидание
все равно
неотрицательно.
(E6)
Если п.н. и при этом
, то
п.н.
Доказательство.
Это свойство мы докажем, заранее предполагая, что имеет
дискретное распределение
с неотрицательными значениями
. Равенство
означает, что все слагаемые в этой сумме равны нулю, т.е. все вероятности
нулевые, кроме вероятности,
соответствующей значению
.
Из свойств (E5) и (E6) следуют полезные утверждения.
Следствие.
Если п.н., то
.
Следствие.
Если п.н., то
.
(E7)
Если и
независимы и их математические
ожидания существуют, то
.
Доказательство. В дискретном случае

Замечание.
Обратное утверждение к свойству (E7)
неверно: из равенства
не следует независимость величин
и
.
Пример 50.
Пусть принимает значения
и
с вероятностями по
каждое,
и
. Это зависимые случайные величины:




Пример 51.
Пусть , и пусть
и
- заведомо зависимые случайные величины. Например:





