Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7151 / 1241 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 10:

Числовые характеристики распределений

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Аннотация: Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Моменты старших порядков и их существование. Дисперсия и ее свойства. Числовые характеристики основных семейств распределений. Квантили и мода. Коэффициенты эксцесса и асимметрии

Математическое ожидание случайной величины

Определение 35. Математическим ожиданием {\mathsf E\,}\xi случайной величины \xi с дискретным распределением называется число

{\mathsf E\,}\xi=\sum\limits_{k}a_kp_k=\sum\limits_{k}a_k\Prob(\xi=a_k),
если данный ряд абсолютно сходится, т.е. если \sum|a_i|p_i<\infty. В противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.

Определение 36. Математическим ожиданием {\mathsf E\,}\xi случайной величины \xi с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения f_\xi(x) называется число

{\mathsf E\,}\xi={\int\limits_{-\infty}^\infty}
x\,f_\xi(x)\,dx,\vphantom{\int^b}
если этот интеграл абсолютно сходится, т.е. если
{\int\limits_{\!\!-\infty }^\infty
|x|\,f_\xi(x)\,dx<\infty.}
В противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.

Математическое ожидание (иначе называемое средним значением или первым моментом) имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точки a_i массу p_i (для дискретного распределения) или "размазав" ее с плотностью f_\xi(x) (для абсолютно непрерывного распределения), то точка {\mathsf E\,}\xi будет координатой центра тяжести прямой.

Пример 48. Пусть случайная величина \xi равна числу очков, выпадающих при одном подбрасывании кубика. Тогда

{\mathsf E\,}\xi=\sum\limits_{k=1}^6\,
k\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\,(1+2+3+4+5+6)=3{,}5.
В среднем при одном подбрасывании кубика выпадает 3{,}5 очка.

Пример 49. Пусть случайная величина \xi - координата точки, брошенной наудачу на отрезок [a,\,b]. Тогда

{\mathsf E\,}\xi=\int\limits_a^b\,
x\cdot\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{x^2}{2(b-a)}{\biggm|}_a^b=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}
Центр тяжести равномерного распределения есть середина отрезка.

Свойства математического ожидания

Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.

(E1) Для произвольной борелевской функции g:\mathbb R\to\mathbb R

{\mathsf E\,} g(\xi)=\begin{cases}
\displaystyle\sum\limits_k g(a_k)\Prob(\xi=a_k), &
\!\!\parbox[t]{8.5cm}{если распределение $\xi$ дискретно \\и ряд
абсолютно сходится;} \\[3.3mm]
\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty g(x) f_\xi(x)\,dx, &
\!\!\parbox[t]{8.5cm}{если распределение $\xi$ абсолютно \\ непрерывно
и интеграл \\абсолютно сходится.}

\end{cases}

Доказательство. Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пусть g(\xi) принимает значения c_1,\,c_2,\,\ldots с вероятностями

\Prob(g(\xi)=c_m)=\smash{\sum\limits_{k:\,g(a_k)=c_m}}\!\Prob(\xi=a_k)\,. \vphantom{\sum_a}
Тогда
\begin{multiline*}
{\mathsf E\,} g(\xi)=\sum\limits_m c_m \Prob(g(\xi)=c_m)=
\sum\limits_m c_m \!\sum\limits_{k:\,g(a_k)=c_m}\Prob(\xi=a_k)= \\
=\sum\limits_m \sum\limits_{k:\,g(a_k)=c_m} g(a_k)\,\Prob(\xi=a_k)=
\sum\limits_k g(a_k)\,\Prob(\xi=a_k)\,.\qquad 
\end{multiline*}

Следствие 10. Математическое ожидание \xi существует тогда и только тогда, когда {\mathsf E\,}|\xi|<\infty.

Доказательство. Условием существование математического ожидания является абсолютная сходимость ряда или интеграла в определениях 35 и 36. Это в точности есть условие {\mathsf E\,} g(\xi)<\infty при g(x)=|x|.

(E2) Математическое ожидание постоянной равно ей самой: {\mathsf E\,} c=c.

(E3) Постоянную можно вынести за знак математического ожидания:

{\mathsf E\,} (c\,\xi)=c\,{\mathsf E\,}\xi.

Доказательство. Следует из свойства (E1) при g(x)=c\,x.

(E4) Математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют:

{\mathsf E\,} (\xi+\eta)={\mathsf E\,}\xi+{\mathsf E\,}\eta.

Доказательство. Пусть случайные величины \xi и \eta имеют дискретные распределения со значениями x_k и y_n соответственно. Для борелевской функции g:\mathbb R^2\to\mathbb R можно доказать свойство, аналогичное (E1). Воспользуемся этим свойством для g(x,\,y)=x+y:

\begin{multiple}
{\mathsf E\,}(\xi+\eta)\!&{=}&\!\sum_{k,\,n}(x_k+y_n)\Prob(\xi=x_k,\,\eta=y_n)=\\
\!&{=}&\!\sum_k x_k \sum_n \Prob(\xi=x_k,\,\eta=y_n)
+ 
\sum_n y_n \sum_k \Prob(\xi=x_k,\,\eta=y_n)=\\
\!&{=}&\!\sum_k x_k\, \Prob(\xi=x_k)+\sum_n y_n\, \Prob(\eta=y_n)=
{\mathsf E\,}\xi+{\mathsf E\,}\eta.
\qquad
\end{multiple}

(E5) Если \xi\ge 0 п.н., т.е. если \Prob(\xi\ge 0)=1, то {\mathsf E\,}\xi\ge 0.

Замечание Сокращение "п.н." читается как "почти наверное" и означает "с вероятностью 1 ". По определению, математическое ожидание - это числовая характеристика распределения. Распределение же не изменится от изменения случайной величины на множестве нулевой вероятности. Поэтому, например, даже если \xi(\omega)\ge 0 не при всех \omega, а на множестве единичной вероятности, математическое ожидание \xi все равно неотрицательно.

(E6) Если \xi\ge 0 п.н. и при этом {\mathsf E\,}\xi= 0, то \xi=0 п.н.

Доказательство. Это свойство мы докажем, заранее предполагая, что \xi имеет дискретное распределение с неотрицательными значениями {a_k\ge 0}. Равенство {\mathsf E\,}\xi=\sum a_k p_k= 0 означает, что все слагаемые в этой сумме равны нулю, т.е. все вероятности p_k нулевые, кроме вероятности, соответствующей значению a_k=0.

Из свойств (E5) и (E6) следуют полезные утверждения.

Следствие. Если \xi\le\eta п.н., то {\mathsf E\,}\xi\le{\mathsf E\,}\eta.

Следствие. Если a\le\xi\le b п.н., то a\le{\mathsf E\,}\xi\le b.

(E7) Если \xi и \eta независимы и их математические ожидания существуют, то {{\mathsf E\,} (\xi\eta)={\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta}.

Доказательство. В дискретном случае

\begin{multiple}
{\mathsf E\,} (\xi\eta)&=&\sum_{k,\,n}(x_k\,y_n)\,\Prob(\xi=x_k,\,\eta=y_n)=\\
=&\sum_kx_k\,\Prob(\xi=x_k)\,\sum_ny_n\,\Prob(\eta=y_n)=
{\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta.
\end{multiple}

Замечание. Обратное утверждение к свойству (E7) неверно: из равенства {\mathsf E\,} (\xi\eta)={\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta не следует независимость величин \xi и \eta.

Пример 50. Пусть \xi принимает значения 0 и \pm 1 с вероятностями по 1/3 каждое, и \eta=\xi^2. Это зависимые случайные величины:

\Prob(\xi=1,\,\eta=0)=\Prob(\xi=1,\,\xi^2=0)=0 \neq
\frac13\,\cdot\,\frac13=
\Prob(\xi=1)\,\Prob(\eta=0).
Однако {\mathsf E\,}\xi=0 и {\mathsf E\,}(\xi\eta)={\mathsf E\,}(\xi^3)=0, поэтому {\mathsf E\,} (\xi\eta)={\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta.

Пример 51. Пусть {\mathsf \phi \sim{\mathrm U}_{0,\,2\pi}, и пусть \xi=\cos{\mathsf \phi и \eta=\sin{\mathsf \phi - заведомо зависимые случайные величины. Например:

\Prob\Bigl(\xi>\frac1{\sqrt{2}},\,\eta>\frac1{\sqrt{2}}\Bigr)=0 \neq  
\Prob\Bigl(\xi>\frac1{\sqrt{2}}\Bigr)\Prob\Bigl(\eta>\frac1{\sqrt{2}}\Bigr) > 0.
Но математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий из-за симметричности распределений \xi, \eta и \xi\eta относительно нуля. Действительно, по свойству (E1) имеем
{\mathsf E\,}\xi=\int_0^{2\pi} \frac1{2\pi} \cos x\,dx=0, \quad
{\mathsf E\,}\eta=\int_0^{2\pi}\frac1{2\pi} \sin x\,dx=0,
{\mathsf E\,}\xi\eta=\int_0^{2\pi} \frac1{2\pi} \cos x\,\sin
x\,dx = 0 =
{\mathsf E\,}\xi \,{\mathsf E\,}\eta.

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.