НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 10: Числовые характеристики распределений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7267 / 1310 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Моменты старших порядков и их существование. Дисперсия и ее свойства. Числовые характеристики основных семейств распределений. Квантили и мода. Коэффициенты эксцесса и асимметрии

Математическое ожидание случайной величины

Определение 35. Математическим ожиданием ${\mathsf E\,}\xi$ случайной величины $\xi$ с дискретным распределением называется число

${\mathsf E\,}\xi=\sum\limits_{k}a_kp_k=\sum\limits_{k}a_k\Prob(\xi=a_k),$

если данный ряд абсолютно сходится, т.е. если $\sum|a_i|p_i<\infty$ . В противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.

Определение 36. Математическим ожиданием ${\mathsf E\,}\xi$ случайной величины $\xi$ с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения $f_\xi(x)$ называется число

${\mathsf E\,}\xi={\int\limits_{-\infty}^\infty} x\,f_\xi(x)\,dx,\vphantom{\int^b}$

если этот интеграл абсолютно сходится, т.е. если

${\int\limits_{\!\!-\infty }^\infty |x|\,f_\xi(x)\,dx<\infty.}$

В противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.

Математическое ожидание (иначе называемое средним значением или первым моментом) имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точки a_i массу p_i (для дискретного распределения) или "размазав" ее с плотностью $f_\xi(x)$ (для абсолютно непрерывного распределения), то точка ${\mathsf E\,}\xi$ будет координатой центра тяжести прямой.

Пример 48. Пусть случайная величина $\xi$ равна числу очков, выпадающих при одном подбрасывании кубика. Тогда

${\mathsf E\,}\xi=\sum\limits_{k=1}^6\, k\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\,(1+2+3+4+5+6)=3{,}5.$

В среднем при одном подбрасывании кубика выпадает 3{,}5

очка.

Пример 49. Пусть случайная величина $\xi$ - координата точки, брошенной наудачу на отрезок $[a,\,b]$ . Тогда

${\mathsf E\,}\xi=\int\limits_a^b\, x\cdot\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{x^2}{2(b-a)}{\biggm|}_a^b=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}$

Центр тяжести равномерного распределения есть середина отрезка.

Свойства математического ожидания

Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.

(E1) Для произвольной борелевской функции $g:\mathbb R\to\mathbb R$

${\mathsf E\,} g(\xi)=\begin{cases} \displaystyle\sum\limits_k g(a_k)\Prob(\xi=a_k), & \!\!\parbox[t]{8.5cm}{если распределение $\xi$ дискретно \\и ряд абсолютно сходится;} \\[3.3mm] \displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty g(x) f_\xi(x)\,dx, & \!\!\parbox[t]{8.5cm}{если распределение $\xi$ абсолютно \\ непрерывно и интеграл \\абсолютно сходится.} \end{cases}$

Доказательство. Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пусть $g(\xi)$ принимает значения $c_1,\,c_2,\,\ldots$ с вероятностями

$\Prob(g(\xi)=c_m)=\smash{\sum\limits_{k:\,g(a_k)=c_m}}\!\Prob(\xi=a_k)\,. \vphantom{\sum_a}$

Тогда

$\begin{multiline*} {\mathsf E\,} g(\xi)=\sum\limits_m c_m \Prob(g(\xi)=c_m)= \sum\limits_m c_m \!\sum\limits_{k:\,g(a_k)=c_m}\Prob(\xi=a_k)= \\ =\sum\limits_m \sum\limits_{k:\,g(a_k)=c_m} g(a_k)\,\Prob(\xi=a_k)= \sum\limits_k g(a_k)\,\Prob(\xi=a_k)\,.\qquad \end{multiline*}$

Следствие 10. Математическое ожидание $\xi$ существует тогда и только тогда, когда ${\mathsf E\,}|\xi|<\infty$ .

Доказательство. Условием существование математического ожидания является абсолютная сходимость ряда или интеграла в определениях 35 и 36. Это в точности есть условие ${\mathsf E\,} g(\xi)<\infty$ при g(x)=|x| .

(E2) Математическое ожидание постоянной равно ей самой: ${\mathsf E\,} c=c$ .

(E3) Постоянную можно вынести за знак математического ожидания:

${\mathsf E\,} (c\,\xi)=c\,{\mathsf E\,}\xi.$

Доказательство. Следует из свойства (E1) при $g(x)=c\,x$ .

(E4) Математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют:

${\mathsf E\,} (\xi+\eta)={\mathsf E\,}\xi+{\mathsf E\,}\eta.$

Доказательство. Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют дискретные распределения со значениями x_k и y_n соответственно. Для борелевской функции $g:\mathbb R^2\to\mathbb R$ можно доказать свойство, аналогичное (E1). Воспользуемся этим свойством для $g(x,\,y)=x+y$ :

$\begin{multiple} {\mathsf E\,}(\xi+\eta)\!&{=}&\!\sum_{k,\,n}(x_k+y_n)\Prob(\xi=x_k,\,\eta=y_n)=\\ \!&{=}&\!\sum_k x_k \sum_n \Prob(\xi=x_k,\,\eta=y_n) + \sum_n y_n \sum_k \Prob(\xi=x_k,\,\eta=y_n)=\\ \!&{=}&\!\sum_k x_k\, \Prob(\xi=x_k)+\sum_n y_n\, \Prob(\eta=y_n)= {\mathsf E\,}\xi+{\mathsf E\,}\eta. \qquad \end{multiple}$

(E5) Если $\xi\ge 0$ п.н., т.е. если $\Prob(\xi\ge 0)=1$ , то ${\mathsf E\,}\xi\ge 0$ .

Замечание Сокращение "п.н." читается как "почти наверное" и означает "с вероятностью ". По определению, математическое ожидание - это числовая характеристика распределения. Распределение же не изменится от изменения случайной величины на множестве нулевой вероятности. Поэтому, например, даже если $\xi(\omega)\ge 0$ не при всех $\omega$ , а на множестве единичной вероятности, математическое ожидание $\xi$ все равно неотрицательно.

(E6) Если $\xi\ge 0$ п.н. и при этом ${\mathsf E\,}\xi= 0$ , то $\xi=0$ п.н.

Доказательство. Это свойство мы докажем, заранее предполагая, что $\xi$ имеет дискретное распределение с неотрицательными значениями ${a_k\ge 0}$ . Равенство ${\mathsf E\,}\xi=\sum a_k p_k= 0$ означает, что все слагаемые в этой сумме равны нулю, т.е. все вероятности p_k нулевые, кроме вероятности, соответствующей значению a_k=0 .

Из свойств (E5) и (E6) следуют полезные утверждения.

Следствие. Если $\xi\le\eta$ п.н., то ${\mathsf E\,}\xi\le{\mathsf E\,}\eta$ .

Следствие. Если $a\le\xi\le b$ п.н., то $a\le{\mathsf E\,}\xi\le b$ .

(E7) Если $\xi$ и $\eta$ независимы и их математические ожидания существуют, то ${{\mathsf E\,} (\xi\eta)={\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta}$ .

Доказательство. В дискретном случае

$\begin{multiple} {\mathsf E\,} (\xi\eta)&=&\sum_{k,\,n}(x_k\,y_n)\,\Prob(\xi=x_k,\,\eta=y_n)=\\ =&\sum_kx_k\,\Prob(\xi=x_k)\,\sum_ny_n\,\Prob(\eta=y_n)= {\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta. \end{multiple}$

Замечание. Обратное утверждение к свойству (E7) неверно: из равенства ${\mathsf E\,} (\xi\eta)={\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta$ не следует независимость величин $\xi$ и $\eta$ .

Пример 50. Пусть $\xi$ принимает значения и $\pm 1$ с вероятностями по 1/3 каждое, и $\eta=\xi^2$ . Это зависимые случайные величины:

$\Prob(\xi=1,\,\eta=0)=\Prob(\xi=1,\,\xi^2=0)=0 \neq \frac13\,\cdot\,\frac13= \Prob(\xi=1)\,\Prob(\eta=0).$

Однако ${\mathsf E\,}\xi=0$ и ${\mathsf E\,}(\xi\eta)={\mathsf E\,}(\xi^3)=0$ , поэтому ${\mathsf E\,} (\xi\eta)={\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta$ .

Пример 51. Пусть ${\mathsf \phi \sim{\mathrm U}_{0,\,2\pi}$ , и пусть $\xi=\cos{\mathsf \phi$ и $\eta=\sin{\mathsf \phi$ - заведомо зависимые случайные величины. Например:

$\Prob\Bigl(\xi>\frac1{\sqrt{2}},\,\eta>\frac1{\sqrt{2}}\Bigr)=0 \neq \Prob\Bigl(\xi>\frac1{\sqrt{2}}\Bigr)\Prob\Bigl(\eta>\frac1{\sqrt{2}}\Bigr) > 0.$

Но математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий из-за симметричности распределений $\xi$ , $\eta$ и $\xi\eta$ относительно нуля. Действительно, по свойству (E1) имеем

${\mathsf E\,}\xi=\int_0^{2\pi} \frac1{2\pi} \cos x\,dx=0, \quad {\mathsf E\,}\eta=\int_0^{2\pi}\frac1{2\pi} \sin x\,dx=0,$

${\mathsf E\,}\xi\eta=\int_0^{2\pi} \frac1{2\pi} \cos x\,\sin x\,dx = 0 = {\mathsf E\,}\xi \,{\mathsf E\,}\eta.$

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Числовые характеристики распределений

Математическое ожидание случайной величины

Свойства математического ожидания

Вопросы и ответы