Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7150 / 1241 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 10:

Числовые характеристики распределений

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >

Другие числовые характеристики распределений

Распределения можно характеризовать и многими другими показателями, большинство из которых находит основное применение в статистике. Здесь мы только кратко познакомимся с их определениями.

Медианой распределения случайной величины \xi называется любое из чисел \mu таких, что

\Prob(\xi\leq \mu)\geq \frac12, \quad
\Prob(\xi\geq\mu)\geq \frac12.

Медиана распределения всегда существует, но может быть не единственна. Так, у биномиального распределения с параметрами 3 и \frac12 медианой будет любое число из отрезка [1,\,2]. Действительно, \xi принимает значения 0, 1, 2 и 3 с вероятностями соответственно \frac{1\vphantom{h}}{8\vphantom{f}}, \frac38, \frac38 и \frac18. Поэтому для всех \mu\in[1,\,2]

\Prob(\xi\leq \mu)\geq\frac12, \quad \Prob(\xi\geq
\mu)\geq\frac12.
Часто в таких случаях в качестве \mu берут середину "отрезка медиан".

Для распределений с непрерывной и строго монотонной функцией распределения F медиана является единственным решением уравнения F(\mu)=\frac12. Это точка, левее и правее которой на числовой прямой сосредоточено ровно по половине всей вероятностной "массы" ( рис. 10.1). Если распределение имеет плотность f, то площади каждой из областей под графиком плотности слева и справа от точки \mu одинаковы.

Медиана является одной из квантилей распределения. Пусть для простоты функция распределения F непрерывна и строго монотонна. Тогда квантилью уровня \delta
\in(0, 1) называется решение уравнения F(x_\delta)=\delta.

Медиана и квантили на графике функции распределения и плотности

Рис. 10.1. Медиана и квантили на графике функции распределения и плотности

Квантиль x_\delta уровня \delta отрезает от области под графиком плотности область с площадью \delta слева от себя, и с площадью 1-\delta - справа. Медиана является квантилью уровня \delta=\frac12.

Квантили уровней, кратных 0{,}01, в прикладной статистике называют процентилями, квантили уровней, кратных 0{,}1, - децилями, уровней, кратных 0{,}25, - квартилями.

Модой абсолютно непрерывного распределения называют любую точку локального максимума плотности распределения. Для дискретных распределений модой считают любое значение a_i, вероятность которого больше, чем вероятности соседних значений (соседнего, если таковое одно).

Для нормального распределения {\mathrm N}_{a,\,\sigma^2} медиана, математическое ожидание и мода равны a. Распределение, обладающее единственной модой, называют унимодальным. Идеальным примером унимодального распределения является нормальное распределение. Плотность произвольного унимодального распределения может быть как более плоской (равномерное распределение), так и более "островершинной" (показательное распределение) по сравнению с плотностью нормального распределения, может быть симметричной либо наклоненной в одну сторону. Для описания таких свойств плотности используют коэффициент эксцесса и коэффициент асимметрии.

Коэффициентом асимметрии распределения с конечным третьим моментом называется число

\beta_1 =
{\mathsf E\,}\Bigl(\!\frac{\xi-a}{\sigma}\!\Bigr)^{\!3},
где a={\mathsf E\,}\xi, \sigma=\sqrt{{\mathsf D\,}\xi\mathstrut}.

Для симметричных распределений коэффициент асимметрии равен нулю. Если \beta_1>0, то график плотности распределения имеет более крутой наклон слева и более пологий - справа; при \beta_1<0 - наоборот.

Коэффициентом эксцесса распределения с конечным четвертым моментом называется число

\beta_2 =
{\mathsf E\,}\Bigl(\!\frac{\xi-a}{\sigma}\!\Bigr)^{\!4}-3.\vphantom{\int_a^b}

Для всех нормальных распределений коэффициент эксцесса равен нулю. Действительно, для \xi\sim{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2} величина \eta=\frac{\xi-a}{\sigma}\vphantom{\sum_1^b} имеет стандартное нормальное распределение. Четвертый момент этого распределения равен трем: {\mathsf E\,}\eta^4=3 ( вычислить аналогично второму моменту в примере 60 ). Поэтому \beta_2=0.

При \beta_2>0 плотность распределения имеет более острую вершину, чем у нормального распределения, при \beta_2<0, наоборот, более плоскую.

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.