Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7171 / 1255 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик

Лекция 12: Сходимость последовательностей случайных величин

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Аннотация: Сходимость "почти наверное". Сходимость по вероятности. Свойства этих сходимостей. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва. Обобщенное неравенство Чебышёва. Законы больших чисел

Сходимости "почти наверное" и "по вероятности"

Напомним, что случайная величина есть (измеримая) функция из некоторого непустого множества \Omega в множество действительных чисел. Последовательность случайных величин \{\xi_n\}_{n=1}^\infty есть тем самым последовательность функций, определенных на одном и том же множестве \Omega. Существуют разные виды сходимости последовательности функций. Давать определение любой сходимости мы будем, опираясь на сходимость числовых последовательностей, как на уже известное основное понятие.

В частности, при каждом новом \omega\in\Omega мы имеем новую числовую последовательность \xi_1(\omega),\,\xi_2(\omega),\,\xi_3(\omega),\,\dots Поэтому можно говорить о сходимости последовательности значений функций в данной точке \omega, а также во всех остальных точках \omega\in\Omega. В теории вероятностей можно не обращать внимание на неприятности, происходящие с нулевой вероятностью. Поэтому вместо сходимости "всюду" принято рассматривать сходимость "почти всюду", или "почти наверное".

Определение 42. Говорят, что последовательность \{\xi_n\} сходится почти наверное к случайной величине \xi при n\to\infty, и пишут: {\xi_n\to\xi} п.н., если \Prob\left\{\omega | \xi_n(\omega)\to\xi(\omega)
\text{ при } n\to\infty\right\}=1. Иначе говоря, если \xi_n(\omega)\to\xi(\omega) при n\to\infty для всех \omega\in\Omega, кроме, возможно, \omega\in A, где A - событие, имеющее нулевую вероятность.

Заметим сразу: определение сходимости "почти наверное" требует знания того, как устроены отображения \omega\mapsto\xi_n(\omega). В задачах же теории вероятностей, как правило, известны не сами случайные величины, а лишь их распределения.

Можем ли мы, обладая только информацией о распределениях, говорить о какой-либо сходимости последовательности случайных величин \{\xi_n\} к случайной величине \xi?

Можно, скажем, потребовать, чтобы вероятность тех элементарных исходов \omega, для которых \xi_n(\omega) не попадает в " {\varepsilon} -окрестность" числа \xi(\omega), уменьшалась до нуля с ростом n. Такая сходимость в функциональном анализе называется сходимостью "по мере", а в теории вероятностей - сходимостью "по вероятности".

Определение 42. Говорят, что последовательность случайных величин \{\xi_n\} сходится по вероятности к случайной величине \xi при n\to\infty, и пишут \xi_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi, если для любого {\varepsilon}>0

\Prob\left(|\xi_n-\xi|\ge{\varepsilon}\right)\to 0\, \text{ при }
n\to\infty
 \; \text{ (или }
\Prob\left(|\xi_n-\xi|<{\varepsilon}\right)\to 1\, \text{ при }
n\to\infty\text{)}.

Пример 70. Рассмотрим последовательность \xi_1,\,\xi_2,\,\dots, в которой все величины имеют разные распределения: величина \xi_n принимает значения 0 и n^7 с вероятностями \Prob\bigl(\xi_n=n^7\bigr)=1/n=1-\Prob(\xi_n=0). Докажем, что эта последовательность сходится по вероятности к нулю.

Зафиксируем произвольное {\varepsilon}>0. Для всех n начиная с некоторого n_0 такого, что {n\mathstrut}_0^7>{\varepsilon}, верно равенство \Prob(\xi_n\ge{\varepsilon})=\Prob({\xi_n=n^7})=1\mspace{1mu}/\,n. Поэтому

\Prob\bigl(|\xi_n-0|\ge{\varepsilon}\bigr) =
\Prob\bigl(\xi_n\ge{\varepsilon}\bigr)
=
\Prob\bigl(\xi_n=n^7\bigr) = \frac1n \to  0 \text{  при  } n\to\infty.
Итак, случайные величины \xi_n с ростом n могут принимать все большие и большие значения, но со все меньшей и меньшей вероятностью.

Например, последовательность \{\xi_n\} можно задать на вероятностном пространстве \langle\Omega,\,\mathcal F,\,\Prob\rangle=
\langle [0,\,1],\,\mathfrak{B}([0,\,1]),\,\lambda\rangle так: положим \xi_n(\omega)=0 для \omega\in[0,\,1-1\mspace{1mu}/\,n] и \xi_n(\omega)=n^7 для \omega\in(1-1\mspace{1mu}/\,n,\,1].

Заметим, что сходимость по вероятности имеет место совершенно независимо от того, как именно заданы случайные величины на \Omega, поскольку определяется лишь их распределениями.

Замечание Иное дело - сходимость "почти наверное". Если, скажем, задать случайные величины как указано выше, то сходимость "почти наверное" будет иметь место. Действительно, для всякого \omega\in[0,\,1) найдется такое n_0, что \omega \in [0, 1-1/n_0], и поэтому для всех n \ge n_0 все \xi_n(\omega) равны нулю.

Можно попробовать задать случайные величины \xi_n на отрезке [0,\,1] как-нибудь иначе, чтобы не было сходимости почти наверное. Для этого нужно заставить отрезок длины 1\,/\,n, на котором \xi_n(\omega)=n^7, "бегать" по отрезку [0,\,1], чтобы любая точка \omega\in[0,\,1] попадала внутрь этого отрезка бесконечное число раз, и, тем самым, для любого \omega существовала подпоследовательность \xi_{n_k}(\omega)\to\infty.

Сходимость по вероятности не обязательно сопровождается сходимостью математических ожиданий или моментов других порядков: из \xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \xi не следует, что {\mathsf E\,}\xi_n\to{\mathsf E\,} \xi. Действительно, в примере 70 имеет место сходимость \xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}  \xi=0, но {\mathsf E\,}\xi_n=n^6\not\to{\mathsf E\,} \xi=0. При этом вообще последовательность {\mathsf E\,}\xi_n неограниченно возрастает.

А если вместо значения n^7 взять n (с той же вероятностью 1\mspace{1mu}/\,n ), то получим {\mathsf E\,}\xi_n=1\not\to {\mathsf E\,}\xi=0. Но теперь хотя бы предел у последовательности математических ожиданий конечен.

Если же \xi_n принимает значения 0 и \sqrt{n} с вероятностями из примера 70, то {\mathsf E\,}\xi_n=1/\sqrt{n} \to {\mathsf E\,}\xi=0, но уже вторые моменты сходиться ко второму моменту \xi не будут: {\mathsf E\,}\xi_n^2=1 \not\to {\mathsf E\,}\xi^2=0.

Однако сходимость математических ожиданий и других моментов сходящихся последовательностей бывает чрезвычайно важна в различных задачах статистики. Существуют условия, при выполнении которых сходимость по вероятности \xi_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi влечет сходимость математических ожиданий {\mathsf E\,}\xi_n\to{\mathsf E\,}\xi.

Сформулируем без доказательства следующее утверждение.

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.