НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 6: Случайные величины и их распределения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7267 / 1310 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Случайные величины. Распределения случайных величин. Типы распределений: дискретные, абсолютно непрерывные, сингулярные, смешанные. Функция распределения и ее свойства

Ключевые слова: дискретное распределение, формула полной вероятности, несовместное событие

Случайные величины

Мы уже видели, что для многих экспериментов нет никаких различий в подсчете вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких "похожих" экспериментах вместо самых разных исходов использовать, например, числа. Иначе говоря, каждому элементарному исходу поставить в соответствие некоторое вещественное число, и работать только с числами.

Пусть задано вероятностное пространство $\langle\Omega, \mathcal F, \Prob\rangle$ .

Определение 20. Функция $\xi:\Omega\to\mathbb R$ называется случайной величиной если для любого борелевского множества $B\in\mathfrak{B}(\mathbb R)$ множество $\xi^{-1}(B)$ является событием, т.е. принадлежит $\sigma$ -алгебре $\mathcal F$ .

Множество $\xi^{-1}(B)=\{\omega\,|\,\xi(\omega)\in B\}$ , состоящее из тех элементарных исходов $\omega$ , для которых $\xi(\omega)$ принадлежит , называется полным прообразом множества .

Замечание. Вообще, пусть функция действует из множества в множество , и заданы $\sigma$ -алгебры $\mathcal F$ и $\mathcal G$ подмножеств и соответственно. Функция называется измеримой, если для любого множества $B\in\mathcal G$ его полный прообраз $f^{-1}(B)$ принадлежит $\mathcal F$ .

Попробуем понять, зачем случайной величине нужна измеримость. Если задана случайная величина $\xi$ , нам может потребоваться вычислить вероятности вида $\Prob(\xi=5)= \Prob\{\omega \,|\,\xi(\omega)=5\}$ , $\Prob(\xi\in[-3,\,7])$ , $\Prob(\xi\ge 3{,}2)$ , $\Prob(\xi<0)$ и вообще самые разные вероятности попадания в борелевские множества на прямой. Это возможно лишь если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями - ведь вероятность есть функция, определенная только на $\sigma$ -алгебре событий. Требование измеримости равносильно тому, что для любого борелевского множества определена вероятность $\Prob(\xi\in B)$ .

Можно потребовать в определении 20 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: ${\{\omega | \xi(\omega)\in(a,b)\}\in\mathcal F}$ , или в любой полуинтервал: $\{\omega | \xi(\omega) < x\}\in\mathcal F$ .

Определение 21. Функция $\xi:\Omega\to\mathbb R$ называется случайной величиной, если для любых вещественных a<b множество $\{\omega\,|\, \xi(\omega)\in (a,\,b)\}$ принадлежит $\sigma$ -алгебре $\mathcal F$ .

Доказательство. Докажем эквивалентность определений 20 и 21. Если $\xi$ - случайная величина в смысле определения 20, то она будет случайной величиной и в смысле определения 21, поскольку любой интервал $(a,\,b)$ является борелевским множеством.

Докажем, что верно и обратное. Пусть для любого интервала ${B=(a,\,b)}$ выполнено $\xi^{-1}(B)\in\mathcal F$ . Мы должны доказать, что то же самое верно для любых борелевских множеств. Соберем в множестве ${\mathcal A=\{B\subseteq \mathbb R | \xi^{-1}(B)\in\mathcal F\}}$ все такие подмножества вещественной прямой, что их прообразы являются событиями. По определению, $B\in\mathcal A$ тогда и только тогда, когда множество $\xi^{-1}(B)$ принадлежит $\mathcal F$ .

Множество $\mathcal A$ уже содержит все интервалы $(a,\,b)$ . Покажем, что множество $\mathcal A$ является $\sigma$ -алгеброй.

Убедимся, что $\mathbb R\in\mathcal A$ . Но $\xi^{-1}(\mathbb R)=\Omega\in\mathcal F$ и, следовательно, $\mathbb R\in\mathcal A$ .
Убедимся, что $\overline B\in\mathcal A$ для любого $B\in\mathcal A$ . Пусть $\xi^{-1}(B)\in \mathcal F$ . Тогда $\xi^{-1}(\overline B)=\{\omega | \xi(\omega)\not\in B\}=\Omega\setminus{\xi^{-1}(B)} \in\mathcal F$ , так как $\mathcal F$ - $\sigma$ -алгебра.
Убедимся, что $B_1\,\cup\, B_2\,\cup\,\ldots\,\in\mathcal A$ для любых $B_1,\,B_2,\,\ldots\in\mathcal A$ . Пусть $\xi^{-1}(B_i)\in \mathcal F$ для всех $i\ge 1$ . Но $\mathcal F$ - $\sigma$ -алгебра, поэтому
$\xi^{-1}\Bigl(\,\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty B_i\Bigr)= \Bigl\{\omega \Big| \xi(\omega)\in \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty B_i\Bigr\}= \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty {\xi^{-1}(B_i)} \in\mathcal F.$

Мы доказали, что $\mathcal A$ - $\sigma$ -алгебра и содержит все интервалы на прямой. Но $\mathfrak{B}(\mathbb R)$ - наименьшая из $\sigma$ -алгебр, содержащих все интервалы на прямой. Следовательно, $\mathfrak{B}(\mathbb R)\subseteq \mathcal A$ .

Приведем примеры измеримых и неизмеримых функций.

Пример 37.

Подбрасываем кубик. Пусть $\Omega=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}$ и две функции из $\Omega$ в $\mathbb R$ заданы так: $\xi(\omega)=\omega$ , $\eta(\omega)=\omega^2$ .

Пока не задана $\sigma$ -алгебра $\mathcal F$ , нельзя говорить об измеримости. Функция, измеримая относительно какой-то $\sigma$ -алгебры $\mathcal F$ , может не быть таковой для другой $\mathcal F$ .

Если $\mathcal F$ есть множество всех подмножеств $\Omega$ , то $\xi$ и $\eta$ являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит $\mathcal F$ , в том числе и $\{\omega \,|\,\xi(\omega)\in B\}$ или $\{\omega\,|\, \eta(\omega)\in B\}$ . Можно записать соответствие между значениями случайных величин $\xi$ и $\eta$ и вероятностями принимать эти значения в виде таблицы распределения вероятностей или, короче, таблицы распределения:
$\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c} $\xi$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \cr \hline $\vphantom{\int^1}\Prob$ & $\tfrac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ \end{tabular} \quad \begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c} $\eta$ & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \cr \hline $\vphantom{\int^1}\Prob$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ \end{tabular}$
Здесь $\Prob(\xi=1)=\ldots=\Prob(\xi=6)=\Prob(\eta=1)= \ldots=\Prob(\eta=36)=\frac16$ .
Пусть $\sigma$ -алгебра событий $\mathcal F$ состоит из четырех множеств:
$\begin{equation} \mathcal F=\bigl\{\Omega, \emptyset, \{1,\,3,\,5\}, \{2,\,4,\,6\}\bigr\}, \end{equation}$ ( 6.1)
т.е. событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного или нечетного числа очков. Убедимся, что при такой сравнительно бедной $\sigma$ -алгебре ни $\xi$ , ни $\eta$ , не являются случайными величинами. Возьмем, скажем, $B=\{4\}$ . Видим, что $\{\omega\,|\,\xi(\omega)=4\}=\{4\}\not\in \mathcal F$ и $\{\omega\,|\, \eta(\omega)=4\}=\{2\}\not\in \mathcal F$ .

Пример 38. Пусть $\Omega=[0,\,2\pi]$ , $\mathcal F=\mathfrak{B}(\mathbb R)\cap[0,\,2\pi]$ - сигма-алгебра борелевских подмножеств отрезка $[0,\,2\pi]$ , $\Prob(B)=\lambda(B)/ 2\pi$ - геометрическая вероятность на $\mathcal F$ и - неизмеримое множество Витали, построенное нами в примере 21. Функция

$\xi(\omega)=I_A(\omega)=\begin{cases} 1, & \text{ если }\, \omega\in A,\cr 0, & \text{ если }\, \omega\not\in A \end{cases}$

не является случайной величиной, поскольку, например, прообраз единицы $\{\omega\,|\,\xi(\omega)=1\}=A$ не принадлежит $\mathcal F$ . И вероятность для $\xi$ попасть в единицу $\Prob(\xi=1)=\lambda(A) / 2\pi$ просто не существует.

Познакомимся с важным понятием - "распределение" случайной величины и опишем различные типы распределений случайных величин.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Случайные величины и их распределения

Случайные величины

Вопросы и ответы