Центральная предельная теорема
Как быстро среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию?
Пусть, как в законе больших чисел Чебышева,
- сумма
независимых и одинаково распределенных величин с
конечной
дисперсией.
Тогда по ЗБЧ
с ростом
.
Или, после приведения к общему знаменателю,



Можно поставить тот же вопрос иначе. Есть последовательность, стремящаяся к нулю. Можно ли ее домножить на что-либо растущее, чтобы "погасить" это стремление к нулю и получить, тем самым, что-нибудь конечное и ненулевое в пределе?
Оказывается, что уже последовательность случайных величин

Слабая сходимость
Пусть задана последовательность случайных величин ,
задано некоторое распределение
с функцией
распределения
и пусть
- произвольная случайная
величина, имеющая распределение
.
Определение 46.
Говорят, что последовательность случайных величин
сходится слабо или сходится по распределению
к случайной величине
и пишут:
,
если для любого
такого, что функция распределения
непрерывна
в точке
, имеет место сходимость
при
.
Итак, слабая сходимость - это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.
Замечание.
Заметим, что сходимость
есть сходимость распределений, а не случайных величин:
если "предельную" величину
заменить на другую величину
с тем же распределением,
ничего не изменится: в том же смысле
.
Следующее свойство очевидно. Если нет - нужно вернуться к определению и свойствам функций распределения.
Свойство 25.
Если , и функция распределения
непрерывна в точках
и
, то
.
Если во всех точках
и
непрерывности
функции распределения
имеет место сходимость
,
то
.
Вместо открытого интервала можно взять полуоткрытый
или замкнутый.
Свойство 26.
- Если
, то
.
- Если
, то
.
Итак, сходимость по вероятности влечет слабую сходимость. Обратное утверждение в общем случае смысла не имеет (см. замечание выше). Однако из слабой сходимости к постоянной вытекает сходимость по вероятности.
Доказательство. Первое утверждение мы докажем чуть позже.
Докажем, что слабая сходимость к постояннной влечет
сходимость по вероятности.
Пусть , т.е.




Возьмем произвольное и докажем,
что
:








Осталось заметить, что
не бывает больше
, так что по свойству предела зажатой
последовательности
.
Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям - домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.
Замечание
Свойство "предел суммы равен сумме пределов" для слабой сходимости
просто бессмысленно:
сходимости ,
означают, что нам известны предельные распределения этих
последовательностей. Но предельное распределение их суммы
может быть различным в зависимости от совместного распределения
и
. Иное дело, когда одно из
предельных распределений вырождено. Тогда предельная функция
распределения суммы или произведения определена однозначно.