Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7171 / 1255 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 13:

Центральная предельная теорема

< Лекция 12 || Лекция 13: 1234 || Лекция 14 >

Примеры использования ЦПТ

Пример 72. Задача из примера 71. Требуется найти

\Prob\left(\left|\frac{\nu_n}{n}-\frac12\right|\ge
0{,}01\right),
где n=10\,000, \nu_n - число выпадений герба. Вычислим вероятность дополнительного события. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на \sqrt{n}=100 и поделим на \sqrt{p\mspace{2mu}(1-p)}=1/2.
\begin{multiline*} 
\Prob\left(\left|\frac{\nu_n}{n}-\frac12\right|< 0{,}01\right)
=\Prob\left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{p\mspace{2mu}(1-p)}}
\left|\frac{\nu_n}{n}-p\right|< 0{,}01
\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{p\mspace{2mu}(1-p)}}\right) = \\
=\Prob\left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{p\mspace{2mu}(1-p)}}
\left|\frac{\nu_n}{n}-p\right|< 2\right)=
\Prob\left(-2< \frac{\nu_n-np}{\sqrt{np\mspace{2mu}(1-p)}} < 2\right)
\approx \\ 
\approx \Phi_{0,1}(2)-\Phi_{0,1}(-2) = 1- 2\Phi_{0,1}(-2)
=1- 2\cdot 0{,}0228=1-0{,}0456. \;
\end{multiline*}
Искомая вероятность примерно равна 0{,}0456:
\Prob\left(\left|\frac{\nu_n}{n}-\frac12\right|\ge 0{,}01\right)=1-
\Prob\left(\left|\frac{\nu_n}{n}-\frac12\right|< 0{,}01\right)
\approx 0{,}0456.

Центральной предельной теоремой пользуются для приближенного вычисления вероятностей, связанных с суммами большого числа независимых и одинаково распределенных величин. При этом распределение центрированной и нормированной суммы заменяют на стандартное нормальное распределение. Насколько велика ошибка при такой замене (погрешность приближения)?

Упражнение. Какие еще предельные теоремы для схемы Бернулли вы знаете? Что такое теорема Пуассона? Найти ее. Какова погрешность пуассоновского приближения? Вычислить ее. Объяснить, почему теорема Пуассона не применима в задаче из примера 72.

В примере 72 мы вычислили вероятность приближенно. Следующий результат позволяет оценить погрешность приближения в ЦПТ.

Теорема 42 (неравенство Берри - Эссеена). В условиях ЦПТ для любого x\in\mathbb R и для любого распределения \xi_1 с конечным третьим моментом

\left| \Prob\left(\frac{\displaystyle S_n -
n{\mathsf E\,}\xi_1}{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut n\,{\mathsf D\,}\xi_1}}} 
<x\right)  -   \Phi_{0,1}(x) \right| 
 \le 
 C\cdot \frac{{\mathsf E\,}{\displaystyle |\xi_1-{\mathsf E\,}\xi_1|}^3}
 {\sqrt{\smash[b]{\mathstrut n}}{\bigl(\sqrt{\smash[b]{\mathstrut
{\mathsf D\,}\xi_1}}\,\bigr)}^3}.

Замечание. В качестве постоянной C можно брать число 0{,}4.

Продолжение примера 72 Проверьте, что для случайной величины \xi_1 с распределением Бернулли

{\mathsf E\,}{|\xi_1-{\mathsf E\,}\xi_1|}^3={|0-p|}^3 \Prob(\xi_1=0)+
{|1-p\,|}^3 \Prob(\xi_1=1)=p\mspace{2mu}q(p^2+q^2).
Поэтому разница между левой и правой частями приближенного равенства " \approx " в примере 72 при n=10^4 и p=q=\frac12 не превышает величины
C\cdot
\frac{p\mspace{2mu}q(p^2+q^2)}{\sqrt{\smash[b]{npq}}{\left(\sqrt{\smash[b]{pq}}\right)}^3}=
C\cdot \frac{p^2+q^2}{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut
n\vphantom{pq}}}\,\sqrt{\smash[b]{pq}}}\le 0{,}4\cdot
\frac{1}{100}=0{,}004,
т.е. искомая вероятность \Prob\left(\left|\frac{\nu_n}{n}-\frac12\right|>0{,}01\right) не больше, чем 0{,}0456+0{,}004. Уместно сравнить этот ответ с оценкой \frac14, полученной с помощью ЗБЧ в примере 71.

< Лекция 12 || Лекция 13: 1234 || Лекция 14 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.