Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 6896 / 1052 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 3:

Аксиоматика теории вероятностей

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >
Аннотация: Алгебра событий. Сигма-алгебра событий. Свойства и примеры алгебр и сигма-алгебр. Мера и ее свойства. Вероятность как нормированная мера. Свойства вероятности. Примеры

Алгебра и сигма-алгебра событий

Алгебра событий. Пусть \Omega - пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств \Omega, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества \Omega, а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств множества \Omega. При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно обычных операций над событиями, т.е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введем понятие алгебры множеств.

Определение 4 Множество \mathcal A, элементами которого являются подмножества множества \Omega (не обязательно все) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим условиям:

(A1) \Omega\in \mathcal A (алгебра содержит достоверное событие);

(A2) если A\in\mathcal A, то \overline
A\in\mathcal A (вместе с любым множеством алгебра содержит противоположное к нему);

(A3) если A\in\mathcal A и B \in\mathcal A, то A\cup B\in\mathcal A (вместе с любыми двумя множествами алгебра содержит их объединение).

Из (A1) и (A2) следует, что пустое множество \emptyset=\overline{\Omega} также содержится в \mathcal A, т.е. алгебра содержит и невозможное событие.

Из условия (A3) следует, что вместе с любым конечным набором множеств алгебра содержит их объединение: для любого n\in\mathbb N, для любых A_1,\,\dots,\,A_n\in\mathcal A выполнено A_1\cup\ldots\cup A_n \in\mathcal A.

Вместо замкнутости относительно объединения можно требовать замкнутость относительно пересечения.

Свойство 1. В определении 4 можно заменить (А3) на (А4) если A\in\mathcal A и B\in\mathcal
A, то A\cap B\in\mathcal A.

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4). Если A, B\in\mathcal A, то \overline
A\in\mathcal A и \overline B\in \mathcal A по свойству (A2). Тогда из (A3) следует, что \overline A\cup\overline B\in\mathcal A. Вновь пользуясь (A2), получим, что дополнение \overline{\overline
A\cup\overline B} к этому множеству также принадлежит алгебре \mathcal A. В силу формул двойственности, дополнение к объединению равно пересечению дополнений:

A\cap B=
\overline{\overline A\cup\overline B}\in\mathcal A.

Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т.е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.

Пример 22. Пусть \Omega=\{\spadesuit,\, \clubsuit,\,\diamondsuit,\,\heartsuit\} - пространство элементарных исходов. Следующие наборы подмножеств \Omega являются алгебрами:

  1. \mathcal A = \{\Omega, \emptyset\}= \{\{
 \spadesuit,\,\clubsuit,\,\diamondsuit,\,\heartsuit\}, \emptyset  \} - тривиальная алгебра;
  2. \mathcal A\mspace{1mu} =
 \{\{ \spadesuit,\,\clubsuit,\,\diamondsuit,\,\heartsuit\}, \emptyset,
 \{\diamondsuit\}, \{\spadesuit,\,\clubsuit,\,\heartsuit\}
 \};
  3. \mathcal A=2^\Omega - множество всех подмножеств \Omega.

Упражнение. Доказать, что если \Omega состоит из n элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно 2^n элементов.

Сигма-алгебра событий. В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счетные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счетной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий.

Определение 5. Множество \mathcal F, элементами которого являются подмножества множества \Omega (не обязательно все) называется \sigma -алгеброй ( \sigma -алгеброй событий), если выполнены следующие условия:

(S1) \Omega\in \mathcal F ( \sigma -алгебра событий содержит достоверное событие);

(S2) если \vphantom{\int^1}A\in\mathcal F, то \overline A\in\mathcal F (вместе с любым событием \sigma -алгебра содержит противоположное событие);

(S3) если A_1, A_2,\, \ldots\in\mathcal F, то A_1\cup A_2\cup\ldots\in\mathcal F (вместе с любым счетным набором событий \sigma -алгебра содержит их объединение).

Упражнение. Доказать, что вместо (S1) достаточно предположить непустоту множества \mathcal F. Вывести из (S1) и (S2), что \emptyset\in\mathcal F.

Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества \mathcal F относительно счетного числа любых других операций над событиями. В частности, аналогично свойству 1 проверяется следующее утверждение.

Свойство 2. В определении 5 можно заменить (S3) на (S4): (S4) если A_1, A_2,\,
\ldots\in\mathcal F, то A_1\cap A_2\cap\ldots\in\mathcal F.

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.