НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 3: Аксиоматика теории вероятностей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7267 / 1310 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Свойство 3. Всякая $\sigma$ -алгебра является алгеброй.

Доказательство. Пусть $\mathcal F$ - $\sigma$ -алгебра. Нужно проверить, что она удовлетворяет свойству (A3), т.е. для любых $A\in\mathcal F$ и $B \in\mathcal F$ выполняется $A\cup B\in\mathcal F$ .

Превратим пару $A,\,B$ в счетную последовательность событий так: $A,\,B,\,B,\,B,\,\dots$ , т.е. положим A_1=A , A_i=B при всех $i \ge 2$ . Объединение $A\cup B$ совпадает с объединением всех множеств A_i из этой бесконечной последовательности. А так как $\mathcal F$ - $\sigma$ -алгебра, то

$\hspace*{3cm} A\cup B=\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal F. \hspace*{3cm}$

Итак, всякая $\sigma$ -алгебра автоматически является алгеброй, но не наоборот. Приведем пример алгебры, не являющейся $\sigma$ -алгеброй.

Пример 23. Пусть $\Omega=\mathbb R$ , и пусть $\mathcal A$ - множество, содержащее любые конечные подмножества $\mathbb R$ (т.е. состоящие из конечного числа точек, в том числе пустое) и их дополнения. Так, множество $\{0,\, 2,\, \pi\}$ принадлежит $\mathcal A$ , множество $(-\infty,\,-7{,}2)\cup(-7{,}2,\,5)\cup(5,\,\infty)$ не принадлежит $\mathcal A$ .

Легко проверить, что множество $\mathcal A$ является алгеброй. Действительно, пустое множество и само $\Omega=\mathbb R$ там содержатся, дополнение к любому конечному подмножеству множества вещественных чисел содержится в $\mathcal A$ по определению, дополнение к множеству вида $\mathbb R \setminus A$ для конечных совпадает с и также принадлежит $\mathcal A$ по определению. Свойство (A3) проверяется непосредственно: объединение любых конечных множеств снова конечно и поэтому принадлежит $\mathcal A$ . Объединение конечного множества с множеством вида $\mathbb R\setminus A$ , где конечно, есть снова множество вида $\mathbb R\setminus B$ , где конечно (или пусто) и т.д.

Однако алгебра $\mathcal A$ не содержит ни одного счетного множества точек. Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный ряд $\mathbb N$ не принадлежит $\mathcal A$ . Поэтому $\mathcal A$ не является $\sigma$ -алгеброй: для бесконечной, но счетной последовательности одноточечных множеств $A_i=\{i\}$ из $\mathcal A$ их объединение $\mathbb N=A_1\cup A_2\cup\ldots$ не принадлежит $\mathcal A$ .

Все алгебры из примера 22 являются $\sigma$ -алгебрами, поскольку содержат лишь конечное число элементов. Вообще, на конечном множестве $\Omega$ понятия алгебры и $\sigma$ -алгебры совпадают. Множество всех подмножеств $\Omega$ является $\sigma$ -алгеброй для любого $\Omega$ .

Борелевская $\sigma$ -алгебра. Приведем еще один пример $\sigma$ -алгебры, которая нам будет необходима в дальнейшем,- $\sigma$ -алгебры борелевских множеств на вещественной прямой.

Борелевской сигма-алгеброй в $\mathbb R$ называется самая маленькая среди всех возможных $\sigma$ -алгебр, содержащих любые интервалы на прямой. Разумеется, $\sigma$ -алгебры, содержащие все интервалы, существуют. Например, множество всех подмножеств $\mathbb R$ - это $\sigma$ -алгебра, и она содержит все интервалы. Что же такое "самая маленькая $\sigma$ -алгебра" из нескольких данных? Обратимся к примерам.

Пусть $\Omega=\mathbb R$ - вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся $\sigma$ -алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до $\sigma$ -алгебр.

Пример 24. Множество $\mathfrak A = \{\mathbb R,\, \emptyset,\, [0,\,1],\, \{ 0\}\}$ не является $\sigma$ -алгеброй, так как, например, $\overline{\{0\}}=\mathbb R\setminus \{0\}= (-\infty,\,0)\cup(0,\,\infty)\not\in\mathfrak A$ . Самый маленький набор множеств, содержащий $\mathfrak A$ и являющийся $\sigma$ -алгеброй (минимальная $\sigma$ -алгебра), получится, если включить в него всевозможные объединения, пересечения и дополнения множеств из $\mathfrak A$ :

$\mathcal F =\{\,\mathbb R, \emptyset,\ [0,\,1],\ \{ 0\},\ (-\infty,\,0)\cup(1,\,\infty),\, (0,\,1],\\ (-\infty,\,0]\cup(1,\,\infty),\, (-\infty,\,0)\,\cup\,(0,\,\infty)\}.$

Определение 6. Минимальной $\sigma$ -алгеброй, содержащей набор множеств $\mathfrak A$ , называется пересечение всех $\sigma$ -алгебр, содержащих $\mathfrak A$ .

Еще раз напомним, что пересекать в определении 6 есть что: хотя бы одна $\sigma$ -алгебра, содержащая данный набор множеств, всегда найдется - это $\sigma$ -алгебра всех подмножеств $\Omega$ .

Упражнение. Доказать, что пересечение двух $\sigma$ -алгебр, содержащих набор множеств $\mathfrak A$ , снова является $\sigma$ -алгеброй, содержащей $\mathfrak A$ .

Упражнение. Найти минимальную $\sigma$ -алгебру, содержащую следующий набор подмножеств $\mathbb R$ : $\mathfrak A = \left\{ \mathbb R,\, \emptyset,\, [0,\,1],\, \{3\} \right\}$ .

Дадим определение борелевской сигма-алгебры. Пусть по-прежнему $\Omega=\mathbb R$ , а множество $\mathfrak A$ состоит из всевозможных открытых интервалов $(a,\,b)$ , где a<b : $\mathfrak A=\{(a,\,b)\,|\, -\infty<a<b<\infty\}$ . Это множество всех интервалов не является ни алгеброй, ни $\sigma$ -алгеброй.

Определение 7. Минимальная $\sigma$ -алгебра, содержащая множество $\mathfrak A$ всех интервалов на вещественной прямой, называется борелевской $\sigma$ -алгеброй в $\mathbb R$ и обозначается $\mathfrak B (\mathbb R)$ .

Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в $\mathfrak B (\mathbb R)$ по определению. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в $\mathfrak B (\mathbb R)$ , требуются специальные построения. Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат $\mathfrak B (\mathbb R)$ , и $\mathfrak B (\mathbb R)$ - $\sigma$ -алгебра. Отсюда сразу следует, что $\mathfrak B (\mathbb R)$ содержит любое множество, которое можно получить из интервалов с помощью счетного числа операций объединения или пересечения, а также взятием дополнения.

В частности, $\mathbb R\in \mathfrak B (\mathbb R)$ по свойству (S1). Далее, все одноточечные множества $\{x\}$ , где $x\in\mathbb R$ , принадлежат $\mathfrak B (\mathbb R)$ . Действительно, интервалы $\Bigl(x-\frac1n,\,x+\frac1n\Bigr)$ принадлежат $\mathfrak B (\mathbb R)$ , по определению, при любом . Их счетное пересечение также принадлежит $\mathfrak B (\mathbb R)$ по свойству (S4):

$\{x\}=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \Bigl(x-\frac1n,\,x+\frac1n\,\Bigr)\in\mathfrak B (\mathbb R).$

Далее, любой интервал вида $(a,\,b\,]$ (или $[a,\,b)$ , или $[a,\,b\,]$ ), где a<b , принадлежит $\mathfrak B (\mathbb R)$ как объединение открытого интервала и точки (или двух точек): $(a,\,b\,]=(a,\,b)\cup \{b\}$ .

Упражнение. Докажите, что множество натуральных чисел $\mathbb N$ и множество рациональных чисел $\mathbb Q$ принадлежат $\mathfrak B (\mathbb R)$ .

Борелевская $\sigma$ -алгебра в $\mathbb R^n$ строится совершенно так же, как в $\mathbb R$ . Это должна быть минимальная $\sigma$ -алгебра, содержащая все множества вида $(a_1,\,b_1)\times\,\ldots\,\times(a_n,\,b_n)$ - уже не интервалы, как в $\mathbb R$ , а прямоугольники в $\mathbb R^2$ , параллелепипеды в $\mathbb R^3$ и т.д. Вместе с ними $\mathfrak B (\mathbb R^n)$ содержит любые множества, являющиеся "предельными" для объединений измельчающихся прямоугольников. Например, круг в $\mathbb R^2$ является борелевским множеством - можно изнутри или снаружи приблизить его объединениями прямоугольников.

Итак, мы определили специальный класс $\mathcal F$ подмножеств $\Omega$ , названный $\sigma$ -алгеброй событий. Применение счетного числа любых операций (объединений, пересечений, дополнений) к множествам из $\mathcal F$ снова дает множество из $\mathcal F$ , т.е. не выводит за рамки этого класса. Событиями будем называть только множества $A\in\mathcal F$ .

Определим теперь понятие вероятности как функции, определенной на множестве событий (функции, которая каждому событию ставит в соответствие число - вероятность этого события).

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Аксиоматика теории вероятностей

Вопросы и ответы