НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 12: Сходимость последовательностей случайных величин

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7243 / 1307 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: алгебра, вычисления, графика, дискретное распределение, замечательный предел, коэффициент асимметрии, несовместное событие, полная группа, распределение бернулли, распределение коши, распределение пуассона, формула полной вероятности, функция Эйлера, цвета, элементы

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Неравенства Чебышёва

Чтобы доказывать сходимость по вероятности, требуется уметь вычислять $\Prob\left(|\xi_n-\xi|\ge{\varepsilon}\right)$ при больших . Но для этого нужно знать распределение $\xi_n$ , что не всегда возможно.

Полезно иметь неравенства, позволяющие оценивать вероятность $\Prob\left(|\xi_n-\xi|\ge{\varepsilon}\right)$ сверху. Тогда для доказательства сходимости по вероятности было бы достаточно устремить к нулю эту оценку.

Все неравенства в этом параграфе принято относить к одному классу неравенств Чебышёва.

Теорема 35 (неравенство Маркова). Если ${\mathsf E\,}|\xi|<\infty$ , то для любого x>0

$\Prob\bigl(|\xi|\ge x\bigr)\le\frac{{\mathsf E\,}|\xi|}{x}\,.$

Доказательство. Нам потребуется следующее понятие.

Определение 44. Назовем индикатором события случайную величину I(A) , равную единице, если событие произошло, и нулю, если не произошло.

По определению, величина I(A) имеет распределение Бернулли с параметром $p=\Prob(I(A)=1)=\Prob(A)$ и ее математическое ожидание равно вероятности успеха $p=\Prob(A)$ . Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством $I(A)+I(\overline A)=1$ . Поэтому

$|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|< x)+|\xi|\cdot I(|\xi| \ge x) \ge |\xi|\cdot I(|\xi| \ge x) \ge x \cdot I(|\xi| \ge x).$

Тогда ${\mathsf E\,}|\xi| \ge {\mathsf E\,} \bigl(x\cdot I(|\xi|\ge x)\bigr)= x\cdot\Prob\bigl(|\xi|\ge x\bigr)$ . Осталось разделить обе части этого неравенства на положительное число

.

Следствие 16 (обобщенное неравенство Чебышёва). Пусть функция не убывает и неотрицательна на $\mathbb R$ . Если ${\mathsf E\,} g(\xi)<\infty$ , то для любого $x\in \mathbb R$

$\Prob\bigl(\xi\ge x\bigr)\le\frac{{\mathsf E\,} g(\xi)}{g(x)}.$

Доказательство. Заметим, что $\Prob\bigl(\xi\ge x\bigr)\le \Prob\bigl(g(\xi)\ge g(x)\bigr)$ , поскольку функция не убывает. Оценим последнюю вероятность по неравенству Маркова, которое можно применять в силу неотрицательности :

$\qquad\Prob\bigl(g(\xi)\ge g(x)\bigr)\le\frac{{\mathsf E\,} g(\xi)}{g(x)}. \qquad$

Упражнение. Записать предыдущее неравенство для функции g(x)=e^x и получить экспоненциальное неравенство Чебышёва.

Следствие 17 (неравенство Чебышёва). Если ${{\mathsf D\,}\xi}$ существует, то для любого x>0

$\Prob\bigl(|\xi-{\mathsf E\,}\xi|\ge x\bigr)\le\frac{{\mathsf D\,}\xi}{x^2}.$

Доказательство. Для x>0 неравенство $|\xi-{\mathsf E\,}\xi|\ge x$ равносильно неравенству $(\xi-{\mathsf E\,}\xi)^2\ge x^2$ , поэтому

$\Prob\bigl(|\xi-{\mathsf E\,}\xi|\ge x\bigr)= \Prob\bigl((\xi-{\mathsf E\,}\xi)^2\ge x^2\bigr)\le \frac{{\mathsf E\,}{\bigl(\xi-{\mathsf E\,}\xi\bigr)}^2}{x^2} =\frac{{\mathsf D\,}\xi}{x^2}.$

Неравенство Чебышёва позволяет, помимо всего прочего, получать абсолютные оценки для вероятности того, что стандартизованная случайная величина превзойдет некоторое значение: для любого x>0

$\Prob\left(\left|\frac{\xi-{\mathsf E\,}\xi}{\sqrt{{\mathsf D\,}\xi}}\right|\ge x\right) = \Prob\left(|\xi-{\mathsf E\,}\xi|\ge x\sqrt{{\mathsf D\,}\xi}\right) \leq \frac{{\mathsf D\,}\xi}{x^2{\mathsf D\,}\xi} = \frac1{x^2}.$

Например, при x=10

эта вероятность не превышает 0{,}01

.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Лекция 12: Сходимость последовательностей случайных величин

Неравенства Чебышёва

Вопросы и ответы