НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 9: Преобразования случайных величин

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7267 / 1310 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Примеры использования формулы свертки

Пример 45. Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют стандартное нормальное распределение. Докажем, что их сумма имеет нормальное распределение с параметрами a=0 и $\sigma^2=2$ .

Доказательство. По формуле свертки, плотность суммы равна

$\begin{multiline*} f_{\xi+\eta}(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\frac{1}{2\pi} \,e^{-u^2\!/2} \,e^{-(x-u)^2\!/2} du= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\frac{1}{2\pi} e^{-\left(u^2+\tfrac{\,x^2}{2\,}\,-\,xu\right)} du =\\ =e^{-{x^2}\!/{4}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \!\frac{1}{2\pi}\,e^{-\left(u-\tfrac{x}{2}\right)^2} du =\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\,e^{-{x^2}\!/{4}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \!\frac{1}{\sqrt{\pi}} \,e^{-v^2} dv= \frac{e^{-{x^2}\!/{4}}}{2\sqrt{\pi}}. \end{multiline*}$

Последний интеграл равен единице, поскольку под интегралом стоит плотность нормального распределения с параметрами a=0 и $\sigma^2=\frac{1}{2}$ . Итак, мы получили, что плотность распределения суммы есть плотность нормального распределения с параметрами и .

Если сумма двух независимых случайных величин из одного и того же распределения (возможно, с разными параметрами) имеет такое же распределение, говорят, что это распределение устойчиво относительно суммирования. В следующих утверждениях перечислены практически все устойчивые распределения.

Лемма 1. Пусть случайные величины $\xi \sim\Pi _\lambda$ и $\eta \sim \Pi _\mu$ независимы. Тогда $\xi+\eta \sim \Pi _{\lambda+\mu}$ .

Доказательство. Найдем таблицу распределения суммы. Для любого целого $k\ge 0$

$\begin{align*} \Prob(\xi +\eta=k)&=\sum_{i=0}^k \Prob(\xi=i, \,\eta=k-i)=\cr &=\sum_{i=0}^k \Prob(\xi=i)\cdot\Prob(\eta=k-i)= \sum_{i=0}^k \frac{\lambda^i}{i!}\,e^{-\lambda}\cdot \frac{\mu^{k-i}}{(k-i)!}\,e^{-\mu}= \cr &=e^{-(\lambda+\mu)}\frac{1}{k!} \sum_{i=0}^k \frac{k!}{i!\,(k-i)!} \lambda^i\mu^{k-i}= e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^k}{k!}. \end{align*}$

В последнем равенстве мы воспользовались биномом Ньютона.

Лемма 2. Пусть случайные величины $\xi \sim\mathrm B_{n,\,p}$ и $\eta \sim\mathrm B_{m,\,p}$ независимы. Тогда $\xi+\eta \sim \mathrm B_{n+m,\,p}$ .

Смысл леммы 2 совершенно понятен: складывая количество успехов в первых и в следующих независимых испытаниях одной и той же схемы Бернулли, получаем количество успехов в $n\,{+}\,m$ испытаниях. Полезно доказать это утверждение аналогично тому, как мы доказали лемму 1.

Лемма 3. Пусть случайные величины $\xi{\,\sim\,}{\mathrm N}_{a_1,\,\sigma_1^2}$ и $\eta{\,\sim\,}{\mathrm N}_{a_2,\,\sigma_2^2}$ независимы. Тогда $\xi+\eta {\,\sim\,}{\mathrm N}_{a_1+a_2,\,\sigma_1^2+\sigma_2^2}$ .

Лемма 4. Пусть случайные величины $\xi{\,\sim\,}\Gamma_{\alpha,\,\lambda_1}$ и $\eta{\,\sim\,}\Gamma_{\alpha,\,\lambda_2}$ независимы. Тогда $\xi+\eta {\,\sim\,}\Gamma_{\alpha,\,\lambda_1+\lambda_2}$ .

Эти утверждения мы докажем позднее, используя аппарат характеристических функций, хотя при некотором терпении можно попробовать доказать их напрямую с помощью формулы свертки.

Показательное распределение не устойчиво по суммированию, однако оно является частным случаем гамма-распределения, которое уже устойчиво относительно суммирования. Докажем частный случай леммы 4.

Лемма 5. Пусть независимые случайные величины $\xi_1,\,\dots,\,\xi_n$ имеют показательное распределение ${\mathrm E}_\alpha$ . Тогда $\xi_1+\ldots+\xi_n {\,\sim\,}\Gamma_{\alpha,n}$ .

Доказательство. Докажем утверждение по индукции. При {n=1} оно верно в силу равенства ${\mathrm E}_\alpha=\Gamma_{\alpha,\,1}$ . Пусть утверждение леммы справедливо для n=k-1 . Докажем, что оно верно и для n=k . По предположению индукции, $S_{k-1}=\xi_1+\ldots+\xi_{k-1}$ имеет распределение $\Gamma_{\alpha,\,k-1}$ , т.е. плотность распределения величины $S_{k-1}$ равна

$f_{S_{k-1}}(x)= \begin{cases} \; 0, & \text{ если } x\le 0, \cr \frac{\alpha^{k-1}}{(k-2)!}\, x^{k-2}e^{-\alpha x}, & \text{ если } x> 0. \end{cases}$

Тогда по формуле свертки плотность суммы $S_k=\xi_1+\ldots+\xi_k$ равна

$f_{S_k}(x)=\!\int\limits_{-\infty}^\infty\! f_{S_{k-1}}(u)f_{\xi_k}(x-u)\,du= \int\limits_0^\infty \frac{\alpha^{k-1}}{(k-2)!}\, u^{k-2}e^{-\alpha u} f_{\xi_k}(x-u)\,du.$

Так как $f_{\xi_k}(x-u)=0$ при x-u<0

, т.е. при u>x

, то плотность под интегралом отлична от нуля, только если переменная интегрирования изменяется в пределах $0\le u\le x$ при x>0

. При $x\le 0$ подынтегральная функция равна нулю. При x>0

имеем

$f_{S_k}(x)=\int\limits_0^x \frac{\alpha^{k-1}}{(k-2)!} \, u^{k-2}e^{-\alpha u}\,\alpha\,e^{-\alpha(x-u)}\,du= \frac{\alpha^k}{(k-1)!}\, x^{k-1}e^{-\alpha x}.$

Поэтому $S_k{\,\sim\,}\Gamma_{\alpha,\,k}$ , что и требовалось доказать.

Пример 46. Равномерное распределение не является устойчивым относительно суммирования. Найдем функцию и плотность распределения суммы двух независимых случайных величин с одинаковым равномерным на отрезке $[0,\,1]$ распределением, но не по формуле свертки, а используя геометрическую вероятность.

Пусть $\xi,\,\eta{\,\sim\,}{\mathrm U}_{0,\,1}$ - независимые случайные величины. Случайные величины $\xi$ и $\eta$ можно считать координатами точки, брошенной наудачу в единичный квадрат.

Тогда $F_{\xi+\eta}(t)=\Prob(\xi+\eta<t)$ равна площади области внутри квадрата под прямой y=t-x . Эта область - заштрихованный на рис. 9.1 треугольник (при $0<t\le 1$ ) либо пятиугольник (при $1<t\le 2$ ). Получим функцию распределения и плотность распределения суммы двух независимых равномерно распределенных на отрезке $[0,\,1]$ случайных величин:

$F_{\xi+\,\eta}(t)=\begin{cases} 0, & t\le 0,\cr \frac{1}{2}\,t^2, & 0<t\le 1,\cr 1\mspace{2mu}{-}\mspace{2mu}\frac{1}{2}\,(2\mspace{2mu}{-}\mspace{2mu}t)^2, & 1<t\le 2,\cr 1, & t>2; \end{cases} \qquad f_{\xi+\,\eta}(t)=\begin{cases} 0, & t\not\in (0,\,2),\cr t, & 0<t\le 1,\cr 2\mspace{2mu}{-}\mspace{2mu}t, & 1<t\le 2. \end{cases}$

Рис. 9.1.

Полученное распределение называется "треугольным распределением" Симпсона. Видим, что распределение суммы независимых случайных величин с равномерным распределением не является равномерным.

Пример 47. Найдем функцию и плотность распределения частного двух независимых случайных величин $\xi$ и $\eta$ , имеющих показательное распределение с параметром .

При x>0 по теореме 30 имеем

$\Prob\Bigl(\frac\eta\xi<x\Bigr) = \mathop{\int\int}\limits_{\!D_x} f_\xi(u)f_\eta(v)\,du\,dv,$

где область D_x

есть множество точек $(u,\,v)$ таких, что $\frac{v}{u} <x$ . При этом достаточно ограничиться положительными значениями

и

: показательно распределенные случайные величины могут принимать отрицательные значения лишь с нулевой вероятностью.

Вычислим интеграл по области $D_x=\{(u,v)\,|\,0<u<\infty,\,0<v<ux\}$ :

$\Prob\Bigl(\frac\eta\xi<x\Bigr) = \int\limits_0^\infty \!\left(\,\int\limits_0^{ux} e^{-u}e^{-v}\,dv\right)du =1-\frac{1}{x+1}.$

Упражнение.Провести вычисления и получить ответ. Таким образом, функция и плотность распределения частного имеют вид

$F(x)=\begin{cases} 1-\frac{1}{x+1}, & x>0,\cr 0, & x\le 0; \end{cases}\qquad f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\displaystyle(x+1)^2}, & x>0,\cr 0, & x\le 0. \end{cases}$

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Преобразования случайных величин

Примеры использования формулы свертки

Вопросы и ответы