Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7150 / 1241 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 2:

Элементарная теория вероятностей

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >

Геометрическая вероятность

Рассмотрим какую-нибудь область \Omega в \mathbb R^k (на прямой, на плоскости, в пространстве). Предположим, что "мера" \Omega (длина, площадь, объем соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку. Термин "наудачу" означает, что вероятность попадания точки в любую часть A\subseteq\Omega не зависит от формы или расположения A внутри \Omega, а зависит лишь от "меры" области A. Для такого эксперимента вероятности определяются согласно геометрическому определению вероятности:

\begin{equation}\label{2.3}
\Prob(A)=\frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}\,.
\end{equation} ( 2.3)

Если для точки, брошенной в область \Omega, выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области \Omega.

Пример 18. Точка наудачу бросается на отрезок [0,\,1]. Вероятность ей попасть в точку 0{,}5 равна нулю, так как равна нулю мера множества, состоящего из одной точки ("длина точки"). Но попадание в точку 0{,}5 не является невозможным событием - это один из элементарных исходов.

Пример 19. Точка наудачу бросается в круг c единичным радиусом. Найти вероятность того, что расстояние \rho до точки от центра круга будет меньше заданного числа r\in(0,\,1).

Решение. Интересующее нас событие \{\rho < r\} происходит, когда точка попадает во внутренний круг с радиусом r и тем же центром. По формуле (2.3), вероятность этого события равна отношению площадей кругов:

\mathsf P(\rho < r) = \frac{ \pi\,
r^2}{\pi}=r^2.
Заметим, что расстояние \rho до брошенной в круг точки распределено не равномерно на отрезке [0,\,1]. Для равномерного распределения мы получили бы вероятность \mathsf P(\rho <
r)=r{\text,} а не r^2.

Пример 20. (задача о встрече) Два человека X и Y условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение. Будем считать интервал от двух до трех часов дня отрезком [0,\,1]. Обозначим через \xi\in[0,\,1] и \eta\in[0,\,1] моменты прихода X и Y в течение этого часа ( рис. 2.2). Результатами эксперимента являются всевозможные пары точек (\xi,\,\eta) из единичного квадрата:

\Omega=\{(\xi,\eta) | \; 0\le\xi\le 1,\;0\le\eta\le
1\}.
Благоприятными исходами будут точки заштрихованного на рисунке множества A :
A=\{(\xi,\eta) | \;  |\xi-\eta|\le 1/ 6\}.
Попадание в множество A наудачу брошенной в квадрат точки означает, что X и Y встретятся.

Задача о встрече

Рис. 2.2. Задача о встрече

Тогда вероятность встречи равна отношению площадей множеств A и \Omega:

\Prob(A)=\frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}=
\frac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^2}{1}=\frac{11}{36}.

Существование неизмеримых множеств. Заканчивая обсуждение понятия геометрической вероятности, отметим следующее неприятное обстоятельство.

Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, далеко не для всех множеств A\subset\Omega вероятность может быть вычислена как отношение меры A к мере \Omega. Причиной этого является существование так называемых "неизмеримых" множеств, т.е. множеств, мера которых не существует.

Пример 21. (множество Витали) В этом примере мы построим множество на отрезке, "длина" которого не существует. Нам понадобятся лишь следующие очевидные свойства "длины" множества: длина множества остается неизменной при сдвиге всех точек этого множества; длина множества, составленного из счетного объединения попарно непересекающихся множеств, равняется сумме длин этих множеств.

Рассмотрим окружность с радиусом 1 (то же, что отрезок [0,2\pi]\text{).} Возьмем любое иррациональное число \alpha. Поскольку оно иррационально, число n\alpha не является целым ни при каком целом n\ne 0. Поэтому если взять {произвольную} точку (угол) x\in[0,2\pi] на окружности и перечислить все точки, которые получаются поворотом x на угол 2\pi n
\alpha, где n=\pm1, \pm2, \ldots, то мы ни разу не вернемся в точку x. Точек, получившихся из x такими поворотами, счетное число. Объединим их в один класс. С любой другой точкой окружности можно тоже связать класс точек, получающихся из нее поворотами на 2\pi n \alpha при целых n. Эти классы либо совпадают, либо не имеют общих точек. Таким образом, вся окружность разбивается на классы точек. В каждом классе счетное число точек, и все точки в одном классе получаются друг из друга такими поворотами. Разные классы не пересекаются. Заметим, что классов несчетное число, т.к. объединением счетного числа счетных множеств нельзя получить несчетное число точек окружности.

Искомое множество A_0 определим так: возьмем из каждого такого класса ровно по одной точке. Пусть множество A_n получается поворотом всех точек множества A_0 на угол 2\pi n \alpha, n=\pm1,
\pm2, \ldots Так как все точки одного класса можно получить, поворачивая любую из них на угол 2\pi n \alpha, \; n=\pm1, \pm2, \ldots, а в множестве A_0 собрано по одной точке из каждого класса, то, поворачивая это множество, получим все точки окружности. Предположим, что "длина" l(A_0) множества A_0 существует. Тогда все множества A_n имеют ту же длину, так как получены из A_0 поворотом. Но все эти множества не пересекаются, поэтому "длина" их объединения равна сумме их длин и равна длине отрезка [0,2\pi] :

2\pi=l\left(\bigcup\limits_{n=-\infty}^\infty
\!\!A_n\right)=
\sum_{n=-\infty}^\infty \!l(A_n)=
\sum_{n=-\infty}^\infty \!l(A_0)=\begin{cases}\infty, & \textrm{если }\,
l(A_0)>0, \cr
0, & \textrm{если }\, l(A_0)=0. \end{cases}

Полученное противоречие означает, что длина множества A_0 просто не существует.

Итак, мы построили множество на отрезке, длина которого не существует (неизмеримое множество). Пользуясь геометрическим определением вероятности, мы не можем определить вероятность попадания точки в такое неизмеримое множество. Но если не для любого A\subseteq\Omega мы можем определить вероятность, следует сузить класс множеств, называемых "событиями", оставив в этом классе только те множества, вероятность которых определена.

В следующей лекции мы изучим предложенную А.Н.Колмогоровым аксиоматику теории вероятностей: познакомимся с понятиями \sigma -алгебры (или поля) событий, вероятностной меры и вероятностного пространства.

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.