Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7171 / 1255 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 8:

Многомерные распределения

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >

Примеры многомерных распределений

Приведем два наиболее употребительных примера абсолютно непрерывных многомерных распределений.

Равномерное распределение. Пусть S\subset \mathbb R^n - борелевское множество с конечной лебеговой мерой \lambda(S). Говорят, что вектор (\xi_1,\,\dots,\,\xi_n) имеет равномерное распределение в области S, если плотность совместного распределения f_{\xi_1,\,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n) постоянна в области S и равна нулю вне этой области:

\begin{equation} f_{\xi_1,\,\dots,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)=\begin{cases} 
          \frac{1}{\lambda(S)}, & \textrm{\, если\, }
(x_1,\,\dots,\,x_n)\in S, \cr
                       \,0, & \textrm{\, если\, }
(x_1,\,\dots,\,x_n)\not\in S. \end{cases}
\end{equation} ( 15)
Убедимся, что эта функция является плотностью распределения:
\displaystyle\mathop{
\int\limits_{\;\mathbb R^n}
\!f_{\xi_1,\,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)\,dx_1\,\dots\,dx_n=\\
\frac{1}{\lambda(S)} 
\int\limits_{\;S}
dx_1\,\dots\,dx_n= \frac{1}{\lambda(S)}\,\lambda(S)=1.

Как и в одномерном случае, вектор (\xi_1,\,\dots,\,\xi_n) с равномерным распределением в области S есть просто вектор координат точки, брошенной наудачу в область S.

Многомерное нормальное распределение. Пусть \Sigma>0 - положительно определенная симметричная матрица (n\times n), матрица \Sigma^{-1} - обратная к \Sigma, и \vec a\in\mathbb R^n - n -мерный вектор-столбец. Транспонированный вектор мы будем обозначать так: {\vec a}^T=(a_1,\,\dots,\,a_n).

Говорят, что вектор (\xi_1,\,\dots,\,\xi_n) имеет многомерное нормальное распределение {\mathrm N}_{\vec a,\,\Sigma} с вектором средних \vec a и матрицей ковариаций \Sigma, если плотность совместного распределения f_{\xi_1,\,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n) равна

f_{\vec \xi}(\vec x)=
\frac{1}{\sqrt{\textrm{det} \Sigma}\left(\sqrt{2\pi}\mspace{2mu}\right)^n}\,
\exp\left\{ 
-\frac12 (\vec x-\vec a)^T \cdot\Sigma^{-1}\cdot(\vec x-\vec a)
\right\}.
Мы не будем проверять, что эта функция является плотностью совместного распределения, поскольку для этого требуется умение заменять переменные в многомерном интеграле. Выражение (\vec x-\vec a)^T \Sigma^{-1}(\vec x-\vec a) в показателе экспоненты является квадратичной формой от переменных (x_i-a_i). Действительно, для матрицы B=\Sigma^{-1} с элементами b_{ij} имеем
(\vec x-\vec a)^T B (\vec x-\vec a)  = \sum_{i=1}^n 
\sum_{j=1}^n
b_{ij}(x_i-a_i)(x_j-a_j).
Подробно с многомерным нормальным распределением мы познакомимся в курсе математической статистики, и там же выясним, что означают слова "с вектором средних \vec a и матрицей ковариаций \Sigma ".

В частном случае, когда \Sigma - диагональная матрица с элементами \sigma_1^2,\,\dots,\,\sigma_n^2 на диагонали, совместная плотность превращается в произведение плотностей нормальных случайных величин:

\begin{multiple}
f_{\vec \xi}(\vec x)
&=&\frac{1}{\sigma_1\ldots\sigma_n\left(\sqrt{2\pi}\mspace{2mu}\right)^n} 
 \exp\left\{-\frac12 \sum_{i=1}^n \frac1{\sigma_i^2}(x_i-a_i)^2\right\}=\\=\frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}}  e^{-\tfrac{(x-a)^2}{2\sigma_1^2}}\cdot
\ldots \cdot
\frac{1}{\sigma_n\sqrt{2\pi}}  e^{-\tfrac{(x-a)^2}{2\sigma_n^2}}.
\end{multiple}
Скоро мы увидим, что это равенство означает независимость случайных величин \xi_1,\,\dots,\,\xi_n.

Роль совместного распределения

Если нам известно совместное распределение двух или нескольких случайных величин, становится возможным отыскать распределение суммы, разности, произведения, частного, иных функций от этих случайных величин. Заметим (но не будем доказывать), что применение к набору случайных величин многих привычных нам функций не выводит нас из класса случайных величин. Интересующийся читатель может попробовать доказать, например, что сумма двух случайных величин есть снова случайная величина.

Следующие два примера показывают, что знания только частных распределений двух случайных величин недостаточно для отыскания распределения, например, суммы этих величин. Для этого необходимо знать их совместное распределение. Распределение суммы (и любой иной функции) не определяется, вообще говоря, распределениями слагаемых: при одних и тех же распределениях слагаемых распределение суммы может быть разным в зависимости от совместного} распределения слагаемых.

Пример 42. Рассмотрим две случайные величины \xi и \eta с одним и тем же распределением Бернулли с параметром p=1/2 и следующей таблицей совместного распределения: для 0\le r \le 1/2 положим

\begin{array}{ll}
\Prob(\xi=0,\,\eta=0)=r, \qquad  & \Prob(\xi=0,\,\eta=1)=\frac12-r,\\
\Prob(\xi=1,\,\eta=0)=\frac12-r, \qquad  & \Prob(\xi=1,\,\eta=1)=r,
\end{array}

Если r=0, то \Prob(\xi+\eta=1)=\Prob(\xi=0,\,\eta=1)+\Prob(\xi=1,\,\eta=0)=1, т.е. распределение \xi+\eta вырождено в точке 1.

Если r=1/2, то \Prob(\xi+\eta=0)=\Prob(\xi+\eta=2)=1/2, т.е. \xi+\eta имеет невырожденное дискретное распределение, принимая значения 0 и 2 с равными вероятностями.

Взяв r=1/4, получим \Prob(\xi+\eta=0)=1/4, \Prob(\xi+\eta=2)=1/4 и \Prob(\xi+\eta=1)=1/2, т.е. \xi+\eta\prinC_{2,\,\frac12}.

Если взять r=1/3, получим \Prob(\xi+\eta=0)=1/3, \Prob(\xi+\eta=1)=1/3 и \Prob(\xi+\eta=2)=1/3, т.е. \xi+\eta принимает значения 1,\,2 и 3 с равными вероятностями (это не биномиальное распределение).

Еще раз отметим, что частные распределения \xi и \eta от r не зависят. Распределение суммы меняется вместе с совместным распределением \xi и \eta при неизменных частных распределениях величин \xi и \eta.

Пример 43. Пусть случайная величина \xi имеет стандартное нормальное распределение.

Возьмем \eta=-\xi. Тогда \eta тоже имеет стандартное нормальное распределение, а сумма \xi+\eta=0 имеет вырожденное распределение.

Возьмем теперь \eta=\xi. Тогда сумма \xi+\eta=2\xi имеет уже не вырожденное, а нормальное распределение {\mathrm N}_{0,\,4} ( проверить ).

Распределение функции нескольких случайных величин может определяться их частными распределениями только если совместное распределение этих случайных величин определяется их частными распределениями. Так бывает для независимых случайных величин.

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.