Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7171 / 1255 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 8:

Многомерные распределения

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >

Независимость случайных величин

Как всегда, предполагается заданным вероятностное пространство \langle\Omega,\mathcal F,\Prob\rangle, на котором определены все рассматриваемые случайные величины.

Определение 31. Случайные величины \xi_1,\,\dots,\,\xi_n называют независимыми (в совокупности), если для любого набора борелевских множеств B_1,\,
\dots,\,B_n\,\in\mathfrak {B}(\mathbb R) имеет место равенство

\Prob(\xi_1\in B_1,\,\dots,\, \xi_n\in B_n)=
\Prob(\xi_1\in B_1)\cdot\ldots\cdot\Prob(\xi_n\in B_n).

Определение 32. Случайные величины \xi_1,\,\,\dots,\,\,\xi_n называют попарно независимыми если независимы любые две из них.

Оба этих определения годятся не только для конечного набора случайных величин, но и для их бесконечной последовательности.

Замечание Независимость случайных величин в совокупности влечет попарную независимость. Достаточно в определении независимости в качестве "лишних" борелевских множеств взять \mathbb R.

Пример 44. Вспомним пример Бернштейна 32. Свяжем с событиями A, B и C случайные величины \xi_1, \xi_2 и \xi_3 - индикаторы этих событий. Например, \xi_1=1, если A произошло, и \xi_1=0, если A не произошло. Случайные величины \xi_1, \xi_2 и \xi_3 независимы попарно (проверить), но зависимы в совокупности:

\begin{align*}
&&\Prob(\xi_1=1,\,\xi_2=1,\,\xi_3=1)=\Prob(A\cap B\cap
C)=\smash{\frac14},\\
&&\Prob(\xi_1=1)\,\Prob(\xi_2=1)\,\Prob(\xi_3=1)=\Prob(A)\,\Prob(B)\,\Prob(C)=\frac18.
\end{align*}

Попарная независимость случайных величин встречается редко. Поэтому всюду, где мы будем употреблять термин "независимы", будет подразумеваться независимость в совокупности.

Определение независимости можно сформулировать в терминах функций распределения.

Определение 33. Случайные величины \xi_1,\,\dots,\,\xi_n независимы (в совокупности), если для любых x_1,\,\dots,\,x_n имеет место равенство

F_{\xi_1,\,\dots,\, \xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)=
F_{\xi_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot F_{\xi_n}(x_n).

Описать независимость случайных величин с дискретным распределением можно с помощью таблицы их совместного распределения.

Определение 34. Случайные величины \xi_1,\,\dots,\,\xi_n с дискретным распределением независимы (в совокупности), если для любых чисел a_1,\,\dots,\,a_n имеет место равенство

\Prob(\xi_1=a_1,\,\dots,\, \xi_n=a_n)=
\Prob(\xi_1=a_1)\cdot\ldots\cdot\Prob(\xi_n=a_n).

Упражнение. Доказать, что из независимости в смысле определения 31 следует независимость в смысле определения 33.

Упражнение. Доказать, что для случайных величин с дискретным распределением определения 31 и 34 эквивалентны.

Для случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями справедливо утверждение.

Теорема 25. Случайные величины \xi_1,\,\dots,\,\xi_n с абсолютно непрерывными распределениями независимы (в совокупности) тогда и только тогда, когда плотность их совместного распределения существует и равна произведению плотностей, т.е. для любых x_1,\,\dots,\,x_n имеет место равенство: f_{\xi_1,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)=
f_{\xi_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot f_{\xi_n}(x_n)\vphantom{a_{1_2}}.

Замечание Плотность распределения определяется с точностью до ее значений на множестве нулевой лебеговой меры (распределение не меняется от изменения плотности на множестве нулевой меры). Поэтому равенство плотности совместного распределения и произведения плотностей можно понимать тоже как равенство "почти всюду".

Доказательство. Пусть случайные величины \xi_1,\,\dots,\,\xi_n независимы, т.е. для любых x_1,\,\dots,\,x_n

F_{\xi_1,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)=F_{\xi_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot F_{\xi_n}(x_n).
Но произведение функций распределения записывается произведением интегралов, или одним n -мерным интегралом:
\begin{multiline*}
F_{\xi_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot F_{\xi_n}(x_n)= 
 \int\limits_{-\infty}^{x_1}\!\! f_{\xi_1}(s_1)\,ds_1 \,\cdot\,
\ldots\,\cdot\!\int\limits_{-\infty}^{x_n}\!\!
f_{\xi_n}(s_n)\,ds_n\,=\\[2pt]
=\!\int\limits_{-\infty}^{\,x_1}
\!{\ldots}\!\int\limits_{-\infty}^{\,x_n} f_{\xi_1}(s_1)\,
\ldots\,
f_{\xi_n}(s_n)\,\,ds_1\,\dots\,ds_n=F_{\xi_1,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n).=I_2. \;
\end{multiline*}
Мы представили функцию совместного распределения в виде интеграла от плотности совместного распределения, которая оказалась равной произведению плотностей частных распределений.

Пусть теперь известно, что плотность совместного распределения существует и распадается в произведение плотностей. В таком случае функция совместного распределения распадается в произведение функций распределения:

\begin{multiline*}
F_{\xi_1,\dots,\,\xi_n}(x_1,\,\dots,\,x_n)=
\!\int\limits_{-\infty}^{\,x_1}
\!{\ldots}\!\int\limits_{-\infty}^{\,x_n} f_{\xi_1}(s_1)\,
\ldots\, f_{\xi_n}(s_n)\,\,ds_1\,\dots\,ds_n = \\
= F_{\xi_1}(x_1)\cdot\ldots\cdot F_{\xi_n}(x_n), \quad
\end{multiline*}
т.е. случайные величины независимы согласно определению 33.

< Лекция 7 || Лекция 8: 123 || Лекция 9 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.