Классические и квантовые коды
Анионы (иллюстративный пример на основе торического кода).
На примере торического кода можно дать более точное представление об анионных системах, о которых говорилось во введении.
Итак, вновь рассмотрим квадратную сетку на торе (а можно и на плоскости — сейчас нас будет интересовать только ее центральная часть). Как и раньше, для каждой вершины и каждой грани рассмотрим проверочные операторы
Состояние кодового подпространства задается условиями , . Их можно переписать другим способом. Рассмотрим следующий гамильтониан — эрмитов оператор Этот оператор неотрицательный, причем его нулевое подпространство в точности совпадает с кодовым подпространством торического кода. Таким образом, векторы из кодового подпространства являются собственными и обладают наименьшей энергией (т.е. собственным числом гамильтониана). Такие векторы называются основными состояниями, а векторы из ортогонального дополнения — возбужденными состояниями.Рассмотрим возбужденные состояния с наименьшей ненулевой энергией, когда нарушено ровно два условия (например, вершинных). (Число нарушенных условий каждого типа четное, поскольку .) Тогда для двух вершин, в которых кодовые условия нарушаются, выполнено
Как можно получить состояние из кодового состояния ? Соединим и решеточным путем и подействуем на оператором . Этот оператор коммутирует с проверочными вершинными операторами для всех промежуточных вершин пути , а в концах — антикоммутирует: . Положим и покажем, что удовлетворяет требуемым свойствам. Для вершины (аналогично и для ) имеем ( , так как состояние — кодовое).Любое состояние системы можно построить из элементарных возбуждений двух типов, одни из которых "живут" на вершинах, другие — на гранях. Элементарное возбуждение — это просто нарушенное кодовое условие, но теперь мы думаем о нем как о частице. Частицы-возбуждения можно двигать, создавать и уничтожать. Пара возбуждений первого типа получается из основного (кодового) состояния действием оператора , приведенного выше; пара возбуждений второго типа — действием оператора , где — путь, соединяющий две грани, как показано на рис. 14.3a). Как и раньше проверяется, что .
Что случится, если двигать возбуждение одного типа (крестик) вокруг возбуждения второго типа (кружочка)? (См. рис. 14.3б).) Движение возбуждения описывается оператором , зависящим от контура обхода (здесь пробегает все грани внутри ). Очевидно, что для всех . В результате мы получим
То есть вектор состояния домножился на . Это и означает, что рассматриваемые возбуждения являются (абелевыми) анионами.На торе можно двигать частицы по двум различным циклам, образующим базис в группе гомологий. Например, можно создать из основного состояния пару возбуждений одного типа, обнести одно из возбуждений по циклу и проаннигилировать со вторым возбуждением. Этот процесс описывается некоторым оператором, действующим на кодовом подпространстве, — произведением вдоль пути на решетке, либо вдоль пути на двойственной решетке. Поскольку существует два типа возбуждений, мы имеем 4 таких оператора: и соответствуют одному базисному циклу, а и — другому. Эти операторы действуют на два закодированных q-бита как ( ), потому что они обладают такими же коммутационными соотношениями: (остальные пары коммутируют).