Классические и квантовые коды
Основные определения и простейшие следствия.
Следующее определение дает в квантовом случае формальное выражение требования "различные состояния переходят в различные состояния" (это необходимое условие возможности восстановления исходных состояний физически реализуемым преобразованием).
Определение 14.6. Квантовый код (подпространство ) исправляет ошибки из , если
( 14.8) |
Определение 14.7. Физически реализуемое преобразование
называется исправляющим (для кода и пространства ошибок ), если Если при этом сохраняет след, то .Теорема 14.2. Если код исправляет ошибки из , то исправляющее преобразование существует.
Доказательство будет дано ниже. Обратное утверждение доказано в [4].
Пример 14.4. Тривиальный код типа : пусть , а , т.е. для кодирования используются первые q-битов, а ошибки действуют на остальные q-биты. Условие (14.8), очевидно, выполнено. В качестве исправляющего преобразования можно взять , где . Преобразование реализуется очень просто: выбрасываем последние q-битов и заменяем их на новые q-биты в состоянии . Практической пользы от такого кода, конечно, мало. Интересно, однако, что любой квантовый код, исправляющий ошибки, в определенном смысле похож на тривиальный (см. лемму 14.3 ниже).
Пример 14.5. Рассмотрим квантовый аналог кода с повторением. Пусть пространство . Рассмотрим два состояния и . Ошибку выберем так: , . Очевидно, что . При этом , что противоречит определению кода, исправляющего ошибки. Мы видим, что код с произвольно большим повторением не защищает даже от одной ошибки.
Ошибки вида называются классическими, а ошибки вида называются фазовыми.
В определении 14.6 речь шла только о парах ортогональных состояний. Давайте посмотрим, что получается на произвольных парах. Зафиксируем и обозначим . Оказывается, что
( 14.9) |
Заметим, что если , то .
Определение 14.8. Код обнаруживает ошибки из , если
Кодовым расстоянием называется наименьшее число , при котором код не обнаруживает ошибки из .Таким образом, код исправляет ошибок, если .
Теперь мы перейдем к доказательству теоремы 14.2.
Лемма 14.3. Пусть квантовый код исправляет ошибки из . Тогда существует унитарное пространство , изометрическое вложение и линейное отображение , такие что
( 14.10) |
Доказательство. Пусть . Рассмотрим фактор-пространство и естественное отображение . Линейное отображение , удовлетворяющее условию (14.10), строится каноническим образом; нужно лишь проверить его изометричность.
Скалярное произведение на пространстве можно задать при помощи функции из свойства кода (14.9): если и , то . Очевидно, что эта величина не зависит от выбора и . Ясно также, что , если . Формула (14.9) как раз и означает, что отображение является изометрическим.
Доказательство (теоремы 14.2). Представим пространство как сумму взаимно ортогональных подпространств: , где — отображение из предыдущей леммы. Пусть — каноническое вложение, а — произвольное физически реализуемое преобразование. Тогда мы можем определить
(Функция линейно продолжается на все пространство ).Лемму 14.3 и доказательство теоремы 14.2 можно неформально изложить таким образом. Код, исправляющий ошибки, характеризуется тем, что ошибка не смешивается с закодированной информацией, т.е. остается в виде отдельного тензорного сомножителя. Исправляющее преобразование извлекает эту "встроенную ошибку" и выбрасывает ее в мусорную корзину.
Задача 14.3. Пусть код обнаруживает ошибки из . Докажите, что состояние можно восстановить, не используя q-битов из множества .