НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 14: Классические и квантовые коды

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 616 / 27 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Торические коды.

Приведем важный пример симплектического кода. Он строится так. Пусть есть квадратная решетка размера $r\times r$ на торе. Сопоставим каждому ее ребру по q-биту. Таким образом, всего имеется n=r^2 q-битов. Проверочные операторы будут двух типов.

Рис. 14.1.

Тип I задается вершинами. Выберем некоторую вершину и сопоставим ей проверочный оператор

$A^{(x)}_s=\sigma(f^{(x)}_s)=\prod_{j\in\,\mathrm {\text{звезда}}(s)}^{} \sigma^x_j.$

Тип II задается гранями. Выберем некоторую грань и сопоставим ей проверочный оператор

$A^{(z)}_u=\sigma(f^{(z)}_u)=\prod_{j\in\, \mathrm {\text{граница}}(u)}^{} \sigma^z_j.$

Операторы $A^{(x)}_s$ и $A^{(z)}_u$ коммутируют, поскольку граница и звезда всегда пересекаются по четному числу ребер. (Перестановочность операторов одного типа очевидна.)

Хотя мы указали r^2+r^2=2r^2 проверочных операторов (по одному на грань и на вершину), между ними есть соотношения. Произведение всех $A^{(x)}$ -операторов, как и произведение всех $A^{(z)}$ -операторов, равны тождественному. Можно показать, что других соотношений нет. Поэтому $\dim F=2r^2-2$ , а $\dim\calM=2^2$ . Поэтому торический код позволяет закодировать два q-бита. Посмотрим, чему равно кодовое расстояние для торического кода.

Для торического кода имеются естественные разложения

$F=F^{(x)}\oplus F^{(z)},\qquad F_+=F_+^{(x)}\oplus F_+^{(z)}$

на подпространства, соответствующие проверочным операторам, состоящим только из $\sigma_j^x$ , либо только из $\sigma_j^z$ . Такие коды называются CSS кодами (по фамилиям авторов, впервые рассмотревших этот класс кодов [25, 44]). В случае торического кода элементы подпространств $F^{(z)}$ , $F_+^{(z)}$ имеют вид $(0,\beta_1,\dots,0,\beta_n)$ ; им можно сопоставить 1-цепи, т.е. формальные линейные комбинации ребер с коэффициентами $\beta_1,\dots,\beta_n\double\in\FF_2$ . Элементам подпространств $F^{(x)}_{\ms},\ F_+^{(x)}$ сопоставляются 1-коцепи. Рассмотрим вектор $f^{(z)}_u\in F^{(z)}_{\ms}$ , отвечающий грани с номером

. Ему будет сопоставлена 1-цепь, являющаяся границей этой грани. Легко видеть, что пространство $F^{(z)}$ состоит из всех 1-границ. Аналогично, векторам $f_s^{(x)}$ будут сопоставляться 1-кограницы, порождающие все пространство 1-кограниц.

Возьмем произвольный элемент $g\in F_+$ , $g=g^{(x)}+g^{(z)}$ . Условия коммутирования запишутся следующим образом:

$\begin{multiline} \omega(f_s^{(x)},g)=0\quad \Longleftrightarrow\quad \omega(f_s^{(x)},g^{(z)})=0, \\ \omega(f_u^{(z)},g)=0\quad \Longleftrightarrow\quad \omega(f_u^{(z)},g^{(x)})=0. \end{multiline}$

Чтобы выполнялось $\omega(f_s^{(x)},g^{(z)}_{\ms})=0$ , нужно, чтобы в любой звезде было четное число ребер с ненулевыми весами из $g^{(z)}$ . Другими словами, $g^{(z)}$ — это 1-цикл (с коэффициентами в $\ZZ_2$ ). Аналогично, $g^{(x)}$ должен быть 1-коциклом.

Итак, пространства $F_+^{(z)}$ , $F_+^{(x)}$ состоят из 1-циклов и 1-коциклов, а пространства $F^{(z)}$ , $F^{(x)}$ состоят из 1-границ и 1-кограниц. Следовательно, кодовое расстояние есть минимальная мощность (количество ненулевых коэффициентов) по циклам, не являющимся границами, и коциклам, не являющимся кограницами. Легко видеть, что этот минимум равен (нужны либо цикл, либо разрез, не гомологичные 0). Это означает, что торический код исправляет $\lfloor (r-1)/2\rfloor$ ошибок.

Будем обозначать коды описанного вида через $\TOR(r)$ .

Замечание. Торические коды являются очень важным примером, обладающим рядом замечательных свойств. В частности, это коды с локальными проверками. Последовательность кодов называется кодами с локальными проверками, если выполнены следующие условия:

каждый проверочный оператор действует на ограниченное константой число q-битов;
каждый q-бит входит в ограниченное константой число проверочных операторов;
кодовое расстояние неограниченно возрастает.

Такие коды представляют интерес для задачи построения вычислительных схем, устойчивых к ошибкам. При исправлении ошибок могут происходить новые ошибки. Но для кодов с локальными проверками схемы исправления ошибок имеют фиксированную глубину, поэтому одна ошибка при работе такой схемы портит ограниченное число q-битов.

Процедура исправления ошибок.

Определение 14.6 и теорема 14.2 указывают только на принципиальную возможность восстановить исходное состояние системы после действия ошибки. На примере симплектических кодов покажем, как реализовать процедуру исправления ошибки.

Рассмотрим частный случай, к которому все сводится. Пусть имеются две ошибки, заданные операторами $X=\sigma(g_1)$ , $Y=\sigma(g_2)$ . Тогда $Z=Y^\dagger X= с\sigma(g_1-g_2)$ ( |c|=1 ). Назовем синдромом ошибки g_1 вектор $\left(\omega(g_1,f_1),\dots,\omega(g_1,f_s)\right)$ (для g_2 — аналогично).

Возьмем вектор $\ket\eta\in\calM$ . Обозначим $\ket\psi=X\ket\eta$ . Проверочные операторы действуют на $\ket\psi$ так: $X_j\ket\psi=(-1)^{\omega(g_1,f_j)}\ket\psi$ . Поэтому, измеряя собственные числа X_j на состоянии $\ket{\psi}$ , можно измерить синдром.

Рис. 14.2.

Если кодовое расстояние равно , то выполнено

$\forall\,g_1,g_2\: \Bigl((|g_1|\leq k, |g_2|\leq k) \Rightarrow \big((g_1-g_2\in F)\vee(g_1-g_2\not\in F_+)\big)\Bigr).$

Условие $g_1-g_2\in F$ означает эквивалентность ошибок g_1

и

, т.е. $\sigma(g_1)\ket\eta=c\sigma(g_2)\ket\eta$ для любого вектора $\ket\eta$ из кодового подпространства. Условие $g_1-g_2\not\in F_+$ равносильно тому, что синдромы ошибок g_1

и

не совпадают. Итак, либо ошибки эквивалентны, либо их можно различить по синдрому. Следовательно, по синдрому можно определить ошибку с точностью до эквивалентности, т.е. по модулю подпространства

.

Теперь ясно, как нужно исправлять ошибку. После того как определен синдром, применим оператор, обратный к оператору восстановленной по синдрому ошибки. Получим состояние, отличающееся от исходного лишь на фазовый множитель. Вся процедура изображена на рис. 14.2.

Выше рассмотрен случай ошибки типа $\sigma(g)$ . На самом деле ошибка состоит в действии преобразования матриц плотности вида

$T=\sum_{|h|\leq k,|h'|\leq k}^{} b_{h,h'} \sigma(h)\cdot\sigma(h')^\dagger.$

В качестве упражнения читателю предлагается проверить, как работает приведенная выше схема в случае такого общего преобразования матриц плотности.

Задача 14.6. Постройте полиномиальный алгоритм определения ошибки по синдрому для торического кода.

Дальше >>

Авторизоваться

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые коды

Торические коды.

Процедура исправления ошибок.

Вопросы и ответы