НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 1: Предисловие

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 617 / 28 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Ключевые слова: вычисление, дизъюнкция, логическое ИЛИ, линейное пространство, импликация, машина Тьюринга, функция переходов, вычет, евклидово пространство, скалярное произведение, булева функция, норма вектора, мощность множества, делитель, рациональное число, условная вероятность, polys, BPP, NP, компьютер, программа, предел, транзистор, диаметр, суперкомпьютер, вычислительная задача, алгоритм, экспонента, ПО, операции, длина, физическая система, значение, комплексное число, суперпозиция, состояние системы, вектор, энергия, матрица, моделирование, математическая модель, разрешимость, входные данные, правильный ответ, вероятность, поиск, список, точность, fault-tolerant, quantum, computation

Материалы данного учебного курса подготовлены с использованием файлов книги "Языки и исчисления", являющейся свободно распространяемой и доступной по адресу http://www.mccme.ru/free-books/. Авторы книги не принимали участия в подготовке этих материалов для курса.

В последние годы интерес к тому, что называется "квантовые компьютеры", необычайно возрос. Идея использования возможностей квантовой механики при организации вычислений выглядит все более привлекательной, начаты экспериментальные работы в этой области.

Однако перспективы физической реализации квантовых компьютеров пока совершенно неясны. Скорее всего, это дело нескольких десятилетий. Основные достижения в этой области носят пока чисто математический характер.

Эта книга предназначена для первоначального знакомства с математической теорией квантовых вычислений. Для удобства читателя вначале дается краткое введение в классическую теорию сложности вычислений. Затем подробно излагаются основы теории квантовых вычислений, включая описание основных известных к настоящему времени эффективных квантовых алгоритмов.

Основу книги составили материалы курса "Классическое и квантовое вычисление", прочитанного А. Шенем (классические вычисления) и А. Китаевым (квантовые вычисления) в Высшем колледже математики Независимого Московского университета в весеннем семестре 1998 г. При подготовке книги также использовались материалы курса Physics 229 - Advanced Mathematical Methods of Physics (Quantum computation), который вели Дж. Прескилл (John Preskill) и А. Китаев (при участии А. Ландала (Andrew Landahl)) в Калифорнийском технологическом институте в 1998-1999 уч. г.

Необходимые для чтения этой книги знания невелики. В сущности, достаточно знания линейной алгебры в объеме стандартного университетского курса, элементарной теории вероятностей, элементарной теории чисел и минимальных представлений о теории алгоритмов (например, иметь навыки практического программирования нетривиальных алгоритмов).

Обозначения

$\vee$	дизъюнкция (логическое ИЛИ)
$\wedge$	конъюнкция (логическое И)
$\neg$	отрицание
$\oplus$	сложение по модулю 2 (а также прямая сумма линейных пространств)
$\Longrightarrow$	импликация (логическое следование)
$\Longleftrightarrow$	логическая эквивалентность
$\calA^*$	множество конечных слов в алфавите $\calA$
$\emptycell$	пустой символ (пробел) в алфавите машины Тьюринга
$\delta(\cdot,\cdot,\cdot)$	функция переходов машины Тьюринга
$L_1\propto L_2$	сводимость предикатов по Карпу ( сводится к ) ( "Класс NP: сводимость и полнота" )
	существует такое число , что $f(n)\leq Cg(n)$
$f(n)=\Omega(g(n))$	существует такое число , что $f(n)\geq Cg(n)$
$f(n)=\poly(n)$	то же самое, что $f(n)=O(n^{O(1)})$
$\FF_q$	конечное поле из элементов
$\ZZ/n\ZZ$	кольцо вычетов по модулю
$\ZZ_n$	аддитивная группа кольца $\ZZ/n\ZZ$
$(\ZZ/n\ZZ)^*$	мультипликативная группа обратимых элементов $\ZZ/n\ZZ$
	( $=\mathop{\rm Hom}(E,U(1))$ ) — группа характеров абелевой группы
$\Sp_2(n)$	симплектическая группа над полем $\FF_2$ размерности ( "Классические и квантовые коды" )
$\ESp_2(n)$	расширенная симплектическая группа над полем $\FF_2$ размерности ( "Классические и квантовые коды" )
$\CC$	множество комплексных чисел
	комплексное сопряжение
$U(\calM)$	группа унитарных операторов на пространстве $\calM$
$\SU(\calM)$	специальная унитарная группа на пространстве $\calM$
$\SO(\calM)$	специальная ортогональная группа на евклидовом пространстве $\calM$
$\CC(a,b,\dots)$	пространство, порожденное векторами $a,b,\dots$
$\calM^*$	пространство линейных функционалов на пространстве $\calM$
$\calM^{\otimes n}$	-я тензорная степень
$\LL(\calM)$	пространство линейных операторов на $\calM$
$\LL(\calN,\calM)$	пространство линейных отображений из $\calN$ в $\calM$
$\cb$	классический бит (множество $\{0,1\})$
$\BB$	квантовый бит (q-бит, пространство $\CC^2$ )
$\bra{\xi}$	бра-вектор ( "Квантовые вычисления" )
$\ket{\xi}$	кет-вектор ( "Квантовые вычисления" )
$\langle\xi\|\eta\rangle$	скалярное произведение
$A^\dagger$	эрмитово сопряженный оператор
$\qxor$	обратимое копирование бита (Controlled NOT) ( "Соотношение между классическим и квантовым вычислением" )
$f_\oplus$	обратимая функция, соответствующая булевой функции ( "Соотношение между классическим и квантовым вычислением" )
$I_\calL$	тождественный оператор на пространстве $\calL$
$\hat G$	унитарный оператор, соответствующий перестановке ( "Соотношение между классическим и квантовым вычислением" )
$\Lambda(U)$	оператор с квантовым управлением ( "Базисы для квантовых схем" )
$\Pi_\calM$	проектор (оператор проектирования) на подпространство $\calM$
$\sigma(\alpha_1,\beta_1,\dots,\alpha_n,\beta_n)$	базисные операторы на пространстве $\BB^{\otimes n}$ ( "Классические и квантовые коды" )
$A\cdot B$	преобразование матриц плотности $\rho\mapsto A\rho B$ ( "Классические и квантовые коды" )
	оператор, действующий на квантовый регистр (множество q-битов) ( "Квантовые вычисления" )
$Tr_\calF A$	частичный след от оператора по пространству $\calF$ ( "Квантовые вероятности" )
$\\|\cdot\\|$	норма вектора ( "Базисы для квантовых схем" ) или операторная норма оператора ( "Соотношение между классическим и квантовым вычислением" )
$\\|\cdot\\|_\trr$	следовая норма ( "Классические и квантовые коды" )
$\\|\cdot\\|_\trn$	норма для преобразований матриц плотности ( "Классические и квантовые коды" )
$\|\cdot\|$	мощность множества или модуль числа
$\delta_{jk}$	символ Кронекера
$\chi_S(\cdot)$	характеристическая функция множества
	наибольший общий делитель и
$a\equiv b\pmod{q}$	сравнение по модулю
$a\bmod{q}$	остаток по модулю
	представление рационального числа в виде несократимой дроби
$\Prob[A]$	вероятность события
$\PP(\cdot\|\cdot)$	условная вероятность (в различных контекстах)
$\PP(\rho,\calM)$	квантовая вероятность ( "Квантовые вероятности" )

Обозначения матриц:

$& & H&=\frac{1}{\sqrt2}\leftp\begin{array}{rr} 1&1\\1&-1\end{array}\rightp, \quad K=\leftp\begin{array}{rr} 1&0\\0&i\end{array}\rightp,\\ \text{матрицы Паули:}& & \sx&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sy=\leftp\begin{array}{rr}0&-i\\ i&0\end{array}\rightp,\quad \sz=\leftp\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\rightp$

Обозначения сложностных классов:

P	( "Что такое алгоритм?" )	MA	( "Квантовый аналог NP: класс BQNP" )	BQNP	( "Квантовый аналог NP: класс BQNP" )
P/poly	( "Что такое алгоритм?" )	$\Pi_k$	( "Иерархия сложностных классов" )	PP	( "Определение квантового вычисления. Примеры" )
BPP	( "Вероятностные алгоритмы и класс BPP. Проверка простоты числа" )	$\Sigma_k$	( "Иерархия сложностных классов" )	PSPACE	( "Что такое алгоритм?" )
NP	( "Класс NP: сводимость и полнота" )	BQP	( "Определение квантового вычисления. Примеры" )

Дальше >>

Авторизоваться

Классические и квантовые вычисления

Предисловие

Обозначения

Вопросы и ответы