Опубликован: 03.06.2019 | Доступ: свободный | Студентов: 401 / 45 | Длительность: 09:11:00
Лекция 20:

За рамками этого курса

< Лекция 19 || Лекция 20: 12

Комплексные числа. Общепринятый способ описания квантового состояния использует комплексные, а не вещественные числа. Дадим здесь краткое введение в комплексные числа. Начальной точкой является введение мнимого числа i, которое представляет корень квадратный из минус единицы, мы постулируем i^2 = -1. Комплексное число записывается в форме а + bi, где а - вещественное число, представляющее вещественную часть комплексного числа, bi - мнимая часть с вещественным числом b. Приведем примеры сложения и умножения комплексных чисел:

(2+5i)+(1-3i)= (2+1)+(5-3)i=3+2i,\\
(2+5i) * (1 - 3i) =2 * 1+2  * (-3i) + 1 * 5i+5 * (-3) * i^2 =2-6i+5i-15 * (-1)= 17-i.

Новой операцией над комплексными числами является операция сопряжения, которая меняет знак мнимой части. Операция обычно записывается как надчеркивание комплексного числа:

\overline{2+5i}  =2-5i.

Сопряжение имеет следующие свойства, справедливые для любой пары комплексных чисел z и w:

\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\;\; \overline{z*w}=\bar z*\bar w,

У комплексного числа есть аналог абсолютного значения, называемый нормой (модулем):

|а + bi| =\sqrt{ а^2 + b^2}.

Норма ненулевого комплексного числа - положительное вещественное число. Существует легко проверяемая связь между комплексно сопряженным числом и нормой:

z *\bar  z = |z|^2 .

Это отношение позволяет определить операцию деления для комплексных чисел:

\frac1z=\frac{\bar z}{{z}^2}

Приведем пример:

\frac{2+5i}{1+3i}=\frac{(2+5i)\overline{(1+3i)}}{|1+3i|^2}=\frac{(2+5i)(1-3i)}{|1+3i|^2}=\frac{17-i}{1^2+3^2}=\frac{17}{10}-\frac{1}{10}i

Эрмитово векторное пространство состоит из векторов, чьи компоненты являются комплексными числами. Скалярное произведение в Эрмитовом пространстве определяется следующим образом:

\begin{pmatrix}z_1\\z_2 \\  \dots \\z_n \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}w_1\\w_2 \\ \dots \\w_n \end{pmatrix}=\bar z_1w_1+\bar z_2w_2=\dots + \bar z_nw_n

При таком определении скалярное произведение ненулевого комплексного вектора с самим собой является положительным веществеиным числом:

u*u = |z_1|^2+|z_2|^2+\dots+|z_n|^2

для

u=\begin{pmatrix}z_1\\z_2 \\  \dots \\ z_n \end{pmatrix}

Это позволяет определить длину комплексного вектора как |u| =\sqrt{u*u} Кубит является комплексным вектором:

(а + bi) |0\rangle + (с + di) |1\rangle.

Если при рассмотрении фотона учитывать его поляризацию при поворотах одновременно с линейной поляризацией, то его квантовое состояние моделируется комплексным 1-кубитом.

В общем случае, n-кубит выражается как:

\sum_{k=0}^{2^n-1}z_k|k\rangle

с условием, что длина такого вектора равна 1:

\sum_{k=0}^{2^n-1}|z_k|^2=1

Когда мы выполняем измерение такого n-кубита, вероятность наблюдения значения k равна |z_k|^2, которая является неотрицательным вещественным числом.

При обсуждении эволюции квантовых состояний в комплексных числах вещественные ортогональные матрицы заменяются матрицами комплексных чисел, удовлетворяющих условию А^{-1} = \bar А^Т. Здесь сопряженная матрица состоит из сопряженных элементов. Комплексная матрица, удовлетворяющая этому условию называется унитарной матрицей.

Многие функция могут быть расширены и определены для комплексных чисел. В частности, важным примером является комплексная экспоненциальная функция. Экспонента комплексного числа определена следующей формулой Эйлера:

e^{a+bi}=e^a(\cos(b)+i\sin(b))

Комплексная версия дискретного преобразования Фурье основана на комплексной экспоненте. Оказывается, что с комплексной версией ДПФ проще работать, чем с ДПФ для вещественных чисел. Коэффициенты Фурье комплексной последовательности (f_0, f_1,\dots , f_{N-1}) вычисляются следующим образом:

c_p=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}f_ke^{-2\pi ikp/N}

Обратное преобразование Фурье восстанавливает исходную последовательность подобным же способом:

f_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{p=0}^{N-1}c_pe^{2\pi ikp/N}
< Лекция 19 || Лекция 20: 12