Опубликован: 03.06.2019 | Доступ: свободный | Студентов: 401 / 45 | Длительность: 09:11:00
Лекция 6:

Ортогональные линейные трансформации

< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >

Квантовый алгоритм является линейной трансформацией в пространстве кубитов, но эта трансформация специального вида - ортогональная линейная трансформация.

Определение. Линейная трансформация Т в векторном пространстве R^N называется ортогональной, если образы базисных векторов Т(е_1), Т(е_2), \dots , Т(е_N) ортогональны друг другу и все они имеют единичную длину

Определение. Множество из N взаимно ортогональных векторов длины 1 в R^N называется ортонормальным базисом R^N.

Матрица ортогональной трансформации называется ортогональной матрицей.

Главные свойства ортогональных матриц: скалярное произведение любых двух столбцов ортогональной матрицы равно нулю; скалярное произведение любого столбца с самим собой равно единице. Эти свойства непосредственно следуют из определения ортогональных матриц.

Давайте рассмотрим несколько примеров ортогональных трансформаций:

  1. Поворот в R^2 на угол \аlpha. Из геометрии ясно, что вектора R_{\alpha} (е_1) и R_{\аlpha}(е_2) являются единичными векторами и ортогональны друг другу Нетрудно проверить, что и скалярные произведения столбцов матрицы R_{\alpha}( удовлетворяют всем указанным свойствам:

    \begin{pmatrix}\cos \alpha&-\sin \alpha\\ \sin \alpha& \cos \alpha \end{pmatrix}
  2. Отражение в R^2 относительно линии, проходящей через начало координат. Эта трансформация является ортогональной, поскольку зеркальное отражение сохраняет длину вектора и углы между векторами.
  3. Поворот в R^3 на угол \alphaа вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат.

Фактически можно показать, что любая ортогональная трансформация в R^2 представляет собой либо поворот, либо отражение, как в выше приведенных примерах 1-2. Приведем некоторые аргументы в пользу этого утверждения. Пусть Т - ортогональная трансформация в R^2 и пусть u_1 = Т(е_1)\; and\; u_2 = Т(е_2). Так как Т - ортогональна, то u_1 и u_2 - единичные вектора, ортогональные друг другу Все единичные вектора на плоскости могут быть получены друг из друга в результате поворота на некоторый угол. Предположим, что u_1 получено поворотом е_1 на угол \alpha против часовой стрелки.

Тогда:

u_1=\begin{pmatrix}\cos \alpha\\ \sin \alpha \end{pmatrix}

Так как вектор u_2 перпендикулярен u_1, то существуют лишь две возможности получения u_2 из u_1 путем поворота - повернуть u_1 на 90\circ против часовой стрелки, либо по часовой стрелке:


В первом случае Т - это поворот с матрицей, записанной выше, во-втором случае - поворот с матрицей:

\begin{pmatrix}\cos \alpha& \sin \alpha\\ \sin \alpha & -cos \alpha\end{pmatrix}

Далее мы собираемся установить несколько свойств ортогональных трансформаций.

Теорема. Линейная трансформация Т ортогональна, если и только если она сохраняет скалярное произведение:

Т(u) * Т(v) = u o v\; для\; всех\; u, v из R^N

Доказательство. Предположим, что Т ортогонально. Из определения ортогональной трансформации следует, что утверждение справедливо для базисных векторов: Т(е_i) * Т(е_j) = е_i * е_j. Для доказательства истинности утверждения для произвольных векторов u и v представим их в виде линейной комбинации базисных векторов:

u=\sum_{i=1}^Nb_ie_i,\; v=\sum_{j=1}^Nc_je_j

Тогда

T(u)*T(v)=T\left( \sum_{i=1}^Nb_ie_i \right )* T\left ( \sum_{j=1}^Nc_je_j\right)\\
= \left (\sum_{i=1}^Nb_iT(e_i) \right )* \left (\sum_{j=1}^Nc_jT(e_j) \right )=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nb_ic_j(T(e_i)*T(e_j))\\
\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^Nb_ic_j(e_i*e_J)= \left (\sum_{i=1}^Nb_ie_i \right )* \left ( \sum_{j=1}^Nc_je_j\right )=u*v

Мы заключаем, что Т сохраняет скалярное произведение.

Доказательство в другую сторону следует из того, что если Т сохраняет скалярное произведение, то Т(е_i) * Т(е_j) = е_i * е_j . Так что Т преобразует базис {е_1, \dots , е__N} в другой ортонормальный базис. Следовательно, Т - ортогональная трансформация.

Из теоремы следует, что ортогональная трансформация сохраняет длину вектора и углы между векторами, поскольку эти характеристики можно выразить через скалярное произведение.

Заметим также, что скалярное произведение двух векторов может быть выражено, используя длины векторов:

u*v=\frac12(|u+v|^2-|u|^2-|v|^2)

Следовательно, любая линейная трансформация, сохраняющая длины векторов, также сохраняет их скалярное произведение и должна быть ортогональной. Итогом приведенного обсуждения является следующая

Теорема. Следующие четыре утверждения эквивалентны:

< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >