Опубликован: 03.06.2019 | Доступ: свободный | Студентов: 401 / 45 | Длительность: 09:11:00
Лекция 5:

Матрицы

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >

В этой лекции мы собираемся представить введение в алгебру матриц -технику вычислений, применяемую при выполнении линейных трансформаций.

Начнем с определения скалярного произведения в R^N. Скалярное произведение двух векторов в R^N - это число, определяемое следующим образом:

\begin{pmatrix}a_1\\a_2 \\ \dots \\a_N \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}b_1\\b_2 \\ \dots \\b_N \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_Nb_N

Скалярное произведение билинейно:

v*(u+w)=v*u+v*w,\; (v+u)*w=v*w+u*w,\\
v*(cw)=(cv)*w=c(v*w)

и симметрично: v*w = w * v.

Еще одно важное свойство скалярного произведения состоит в том, что оно позволяет вычислить длину вектора. Будем обозначать длину вектора v как |v| . Тогда: |v|=\sqrt{v*v}. Длина вектора называется также его нормой.

На плоскости соотношение для |v| прямое следствие теоремы Пифагора:

Для вектора w=\begin{pmatrix}x\\ y \\z \end{pmatrix} в трехмерном пространстве теорему Пифагора применяем дважды, вначале для проекция вектора на плоскость XY: v= \begin{pmatrix}x\\ y\\ 0\end{pmatrix},


получив |v|^2=x^2+y^2, затем к вектору v и перпендикулярному вектору u= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ z\end{pmatrix} . В результате получаем: |w|^2=|v|^2+|u|^2=x^2+y^2+z^2

Для установления истинности формулы v * v = |v|^2 в R^N теорему Пифагора следует применить N - 1 раз.

Теорема. Пусть u, v - два вектора в R^N с углом \alpha между ними. Тогда u*v = |u||v|\cos \alpha.

Доказательство. Рассмотрим треугольник, сформированный векторами u, v, u-v. По свойству скалярного произведения:


|u-v|^2=(u-v)*(u-v)=u*u-u*v-v*u+v*v=|u|^2+|v|^2-2u*v

С другой стороны по теореме косинусов:

|u-v|^2=|u|^2+|v|^2-2|u||v|\cos \alpha

Из сравнения этих формул следует истинность утверждения теоремы.

Следствие. Два вектора в R^N перпендикулярны друг другу если и только если их скалярное произведение равно нулю.

Определение. Матрица линейной трансформации Т векторного пространства R^N - это квадратная таблица N * N из N строк и N столбцов, содержащих числа, сформированная векторами Т(е_1), Т(е_2), \dots, Т(е_N), представляющих столбцы матрицы.

Пример. Пусть Т - поворот на 30\circ против часовой стрелки. Тогда:

T(e_1)= \begin{pmatrix}\cos 30\circ \\ \sin 30\circ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sqrt 3/2\\ 1/2 \end{pmatrix},\; T(e_2)= \begin{pmatrix}-\sin 30\circ \\ \cos 30 \circ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1/2\\ \sqrt3/2 \end{pmatrix}

Матрица, задающая Т, имеет вид:

 \begin{pmatrix} \sqrt3/2&-1/2\\1/2& \sqrt3/2 \end{pmatrix}

В общем случае матрица трансформации, задающая на плоскости поворот против часовой стрелки на угол \alpha, имеет вид:

R_{\alpha}=\begin{pmatrix}\cos \alpha& -\sin \alpha\\ \sin \alpha& \cos \alpha \end{pmatrix}

Как мы видели в предьцдущей главе, линейная трансформация определяется трансформациями базисных векторов. Следовательно, в матрице линейной трансформации содержится вся информация о трансформации.

Теперь мы определим операцию умножения матрицы на вектор из R^N.

Определение. Произведение Аv квадратной матрицы А размера N * N на вектор v из R^N - это вектор в R^N, k-ая компонента которого представляет скалярное произведение k-й строки матрицы А на вектор v.

Теорема. Пусть Т-линейная трансформация в R^N, определяемая матрицей А, тогда результат применения Т к вектору v эквивалентен произведению Аv.

Мы не станем рассматривать формальное доказательство, а рассмотрим пример. Пусть Т - линейная трансформация в R^2, определяемая матрицей А:

A=\begin{pmatrix}1&2 \\3&4 \end{pmatrix}

Пусть v=\begin{pmatrix}5\\6 \end{pmatrix}, тогда произведение:

Av=\begin{pmatrix}1&2 \\3&4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1*5+2*6\\3*5+4*6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17\\ 39\end{pmatrix}

Результат применения трансформации Т к вектору v:

T(v)=T(5e_1+6e_2)=5T(e_1)+6T(e_2)\\
=5 \begin{pmatrix}1\\3 \end{pmatrix}+6 \begin{pmatrix}2\\4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5*1+6*2\\5*3+6*4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}17\\39 \end{pmatrix}

Нетрудно видеть, что эти вычисления остаются справедливыми в общем случае для любых матриц размера N * N и векторов v из R^N.

Упражнение. Пусть Т - отражение плоскости относительно прямой у = 2х. Найти матрицу, задающую трансформацию Т.

Решение. Для формирования матрицы необходимо найти Т(е_1) и Т(е_2). Покажем на этом примере, как это можно сделать. Выберем два вектора, для которых трансформация Т известна. Для вектора v_1={1\choose 2}/T(v_1)=v_1, поскольку точка (1,2) принадлежит прямой у = 2х. Для вектора v_2= {2\choose-1}T(v_2)=-v_2, поскольку скалярное произведение векторов v_1 и v_2 равно 0, следовательно, вектора v_1 и v_2 перпендикулярны.

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >