Опубликован: 03.06.2019 | Доступ: свободный | Студентов: 401 / 45 | Длительность: 09:11:00
Лекция 9:

Теорема Лагранжа

Случается, что внутри группы есть еще одна группа меньшего размера. Например, внутри диедральной группы D_n множество поворотов \{R^i| i = 0, 1,\dots , n - 1 \} является группой. Это пример подгруппы.

Определение. Пусть G - группа. Подмножество Н в G называется подгруппой, если вьшолняются следующие свойства:

  1. е принадлежит Н;
  2. Для каждого элемента h из Н его обратный элемент h^{-1} также содержится в Н;
  3. Для любой пары элементов h_1 и h_2 из Н их произведение h_1h_2 также содержится в Н.

Можно видеть, что множество положительных рациональных чисел Q_+ представляет подгруппу мультипликативной группы Q^*, четные целые числа представляют подгруппу в аддитивной группе Z. Еще одним примером подгруппы является множество {е, Т} в D_n. Множество из одного элемента {е} и само множество G также являются подгруппами для любой группы G.

Множество ортогональных матриц размера N*N формирует подгруппу, обозначаемую О(N), в обобщенной линейной группе GL(N).

Упражнение. Определить все возможные подгруппы в D_4.

Важным классом подгрупп являются циклические подгруппы. Зафиксируем элемент g в группе G. Пусть Н будет множеством всех целых степеней g:

Н = \{g^k|\; k = \dots,-2,-1,0,1,2,\dots \}.

Ясно, что это множество является подгруппой, так как g^kg^s=g^{k+s} Если группа G конечна, то циклическая подгруппа, генерируемая элементом g не может быть бесконечной и список степеней g будет содержать бесконечно много повторений. Давайте проанализируем структуру подгруппы в этом случае.

Определение. Порядком элемента g в группе G является наименьшее натуральное число n, такое что g^n = е. Если такового числа не существует, то значение порядка - бесконечность.

Примеры. В группе D_4 элемент Т имеет порядок 2, а элемент R - 4. В Q^* элемент g = -1 имеет порядок 2, так как (-1)^2 = 1, а элемент g = 5 имеет бесконечный порядок, так как никакая положительная степень числа 5 не дает 1.

Утверждение. Пусть G - конечная группа. Тогда любой элемент g в G имеет конечный порядок. Если n - порядок g, то циклическая подгруппа, генерируемая g имеет n элементов: g^0 = е,\; g^1 = g, g^2, g^3,\dots , g^{n-1}

Доказательство. Так как множество всех степеней должно содержать повторения, то имеет место g^s=g^r для некоторых целых s > r. Умножая обе части равенства на g^{-s}, получим: g^{r-s}=e, где r - s - положительное число. Следовательно, g - конечная группа.

Пусть n - порядок G. Тогда g^n = е,\; g^{n+1} = g, и так далее. Каждая положительная степень g приводится к одному из элементов: g^0, g^1,\dots , g^{n-1} Для отрицательных степеней g справедливо g^{-1}=g^ng^{-1}=g^{n-1},\; g^{-2}=g^{n-2}, и так далее. Из этого следует справедливость нашего утверждения.

Определение. Группа G называется циклической, если существует элемент g в G, такой что целые степени g исчерпывают G.

Определение. Пусть g - элемент группы G и пусть Н - подгруппа в G. Смежный класс (coset) gH - это множество произведений gh, где h пробегает все значения из Н.

Давайте рассмотрим смежные классы подгруппы Н = \{е, R, R^2, R^3\} в диедральной группе D_4.

Очевидно, что смежный класс еН совпадает с Н. Смежный класс RH также совпадает с Н, поскольку он содержит элементы \{R, R_2, R_3, R_4 = е\}. Смежный класс ТН - \{Т, ТR, ТR_2, ТR_3\}. Фактически для любого I смежные классы (TR^i)Н и смежный класс ТН совпадают. В данном примере можно видеть, что есть только два различных смежных классы: \{е, R, R^2, R^3 \} и \{Т, ТR, ТR^2, ТR^3 \}.

Из принципа Судоку для таблицы умножения следует, что размер любого смежного класса gH равен числу элементов в подгруппе Н.

Утверждение. Пусть Н - подгруппа в группе G. Тогда G - это объединение неперекрывающихся смежных классов.

Доказательство. Необходимо показать, что два различных смежных класса не перекрываются, это значит, что если два смежных класса аН и имеют общий элемент с, то классы эквивалентны. В самом деле, если с принадлежит обоим классам, то с = ah_1 = bh_2 для некоторых h_1, h_2 в Н. Тогда а =bh_2h_1^{-1}. Нам нужно показать, что любой элемент аН содержится в и наоборот. Пусть d - элемент аН. Тогда для некоторого h_3 в Н, d = аh_3 = bh_2h_1^{-1}h_3. Так как Н - подгруппа, то h_2h_1^{-1}h_3 содержится в Н, следовательно, d принадлежит смежному классу . Аналогично, каждый элемент содержится в классе аН, так что аН = bН.

Смежные классы покрывают всю группу, поскольку каждый элемент g принадлежит своему собственному смежному классу .

Определение. Число элементов группы G называется порядком группы.

Теорема (Лагранжа). Пусть G - конечная группа.

(а) Порядок любой подгруппы Н в G является делителем порядка G

(b) Порядок любого элемента g в G является делителем порядка G.

Доказательство. Группа G является объединением неперекрывающихся смежных классов подгруппы Н. Поскольку все классы имеют один и тот же размер, то:

Порядок G = Порядок Н * Число смежных классов Н.

Из этого следует справедливость утверждения части (а) нашей теоремы.

Для доказательства части (b) заметим, что каждый элемент g генерирует циклическую подгруппу, чей порядок эквивалентен порядку элемента g, а это значит, что (b) следует из (а).

Следствие. Пусть G - группа порядка n и пусть g - элемент G. Тогда g^n=e.

Доказательство. Пусть k - порядок g. По теореме Лагранжа n = ks для некоторого s. Тогда g^n=(g^k)^s=e^s=e