НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 4: Условная вероятность и независимость

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7243 / 1307 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: алгебра, вычисления, графика, дискретное распределение, замечательный предел, коэффициент асимметрии, несовместное событие, полная группа, распределение бернулли, распределение коши, распределение пуассона, формула полной вероятности, функция Эйлера, цвета, элементы

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Формула полной вероятности

Пример 33.

Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. Первый завод производит 25%, второй завод - 35%, третий - 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции первого завода, 3% от продукции второго и 4% от продукции третьего завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти:

вероятность купить бракованное изделие;
условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено первым заводом, если это изделие оказалось бракованным.

Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, т.е. $0{,}05\cdot 0{,}25+0{,}03\cdot 0{,}35+0{,}04\cdot 0{,}4$ . Вторая вероятность равна доле брака первого завода среди всего брака, т.е.

$\frac{0{,}05 \cdot 0{,}25}{0{,}05 \cdot 0{,}25+0{,}03 \cdot 0{,}35+0{,}04 \cdot 0{,}4}.$

Определение 15. Конечный или счетный набор попарно несовместных событий $H_1,\, H_2,\, \ldots$ таких, что ${\Prob(H_i)>0}$ для всех и ${H_1\cup H_2\cup\,\ldots\,=\Omega}$ , называется полной группой событий или разбиением пространства $\Omega$ .

События $H_1,H_2,\ldots$ , образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для любого события могут быть сравнительно просто вычислены $\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_i)$ и собственно $\Prob(H_i)$ . Как, используя эти данные, посчитать вероятность события ?

Теорема 11 (формула полной вероятности). Пусть дана полная группа событий H_1 , $H_2,\,\ldots$ , Тогда вероятность любого события может быть вычислена по формуле

$\Prob(A)=\sum_{i=1}^\infty\Prob(H_i)\,\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_i).$

Доказательство. Заметим, что

$A = A\cap\Omega = A\cap\biggl(\,{\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty H_i}\biggr)= {\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty}\, (A\cap H_i),$

и события $A\cap H_1$ , $A\cap H_2,\, \ldots$ , попарно несовместны. Поэтому

$\Prob(A)=\Prob\biggl(\,{\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty\, (A\cap H_i)}\biggr) =\sum_{i=1}^\infty\Prob(A\cap H_i)= \sum_{i=1}^\infty\Prob(H_i)\,\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_i).$

Во втором равенстве мы использовали $\sigma$ -аддитивность вероятностной меры, а в третьем - теорему 9 умножения вероятностей.

Формула Байеса

Теорема 12 (формула Байеса). Пусть $H_1,H_2,\ldots$ - полная группа событий, и - некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие H_k , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле

$\Prob(H_k{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} A)= \frac{\Prob(H_k)\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_k)} {\sum\limits_{i=1}^\infty\Prob(H_i)\,\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_i)}.$

Доказательство. По определению условной вероятности,

$\qquad\Prob(H_k{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} A)=\frac{\Prob(H_k\cap A)}{\Prob(A)}= \frac{\Prob(H_k)\,\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_k)} {\sum\limits_{i=1}^\infty\Prob(H_i)\,\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_i)}. \qquad$

Пример 34. Вернемся к примеру 33. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: $H_i=\{\text{изделие изготовлено i-м заводом}\}$ , i=1,2,3 . Вероятности этих событий даны: $\Prob(H_1)=0{,}25$ , $\Prob(H_2)=0{,}35$ , $\Prob(H_3)=0{,}4$ .

Пусть $A=\{\text{изделие оказалось бракованным}\}$ . Даны также условные вероятности $P(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_1)=0{,}05$ , $P(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_2)=0{,}03$ , $P(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_3)=0{,}04$ .

Убедитесь, что полученные нами в примере 33 вероятности совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле полной вероятности и по формуле Байеса.

Вероятности $\Prob(H_i)$ , вычисленные заранее, до проведения эксперимента, называют априорными вероятностями ( a'priori - "до опыта"). Условные вероятности $\Prob(H_i {\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} A)$ называют апостериорными вероятностями ( a'posteriori - "после опыта"). Формула Байеса позволяет переоценить заранее известные вероятности после того, как получено знание о результате эксперимента. Эта формула находит многочисленные применения в экономике, статистике, социологии и т.п.

Пример 35. Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них будет стрелять по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью , второй стрелок - с вероятностью $10^{-5}$ .

Можно сделать два предположения об эксперименте: H_1 - стреляет 1-й стрелок (выпал герб) и H_2 - стреляет 2-й стрелок (выпала решка). Априорные вероятности этих гипотез одинаковы: $\Prob(H_1)=\Prob(H_2)=\frac12$ .

Как изменятся вероятности гипотез после проведения опыта? Рассмотрим событие - пуля попала в мишень. Известно, что

$\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_1)=1, \quad \Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_2)=10^{-5}.$

Вероятность пуле попасть в мишень равна

$\Prob(A)=\frac12\cdot 1+\frac12\cdot 10^{-5}.$

Предположим, что событие произошло. Тогда по формуле Байеса

$\Prob(H_1{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} A)=\frac{\frac12 \cdot 1}{\frac12 \cdot 1+\frac12 \cdot 10^{-5}}= \frac{1}{1+10^{-5}}\approx 0{,}999\,99,$

$\Prob(H_2{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} A)=\frac{\frac12 \cdot 10^{-5}}{\frac12 \cdot 1+\frac12 \cdot 10^{-5}}= \frac{10^{-5}}{1+10^{-5}}\approx 0{,}000\,01.$

Попадание пули в мишень сделало выпадение герба в $10^{5}$ раз более вероятным, чем выпадение решки.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Условная вероятность и независимость

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Вопросы и ответы