Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7168 / 1254 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 4:

Условная вероятность и независимость

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >

Формула полной вероятности

Пример 33.

Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. Первый завод производит 25%, второй завод - 35%, третий - 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции первого завода, 3% от продукции второго и 4% от продукции третьего завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти:

  1. вероятность купить бракованное изделие;
  2. условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено первым заводом, если это изделие оказалось бракованным.

Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, т.е. 0{,}05\cdot 0{,}25+0{,}03\cdot 0{,}35+0{,}04\cdot 0{,}4. Вторая вероятность равна доле брака первого завода среди всего брака, т.е.

\frac{0{,}05 \cdot 0{,}25}{0{,}05 \cdot 0{,}25+0{,}03
		\cdot 0{,}35+0{,}04 \cdot 0{,}4}.

Определение 15. Конечный или счетный набор попарно несовместных событий H_1,\, H_2,\,
		\ldots таких, что {\Prob(H_i)>0} для всех i и {H_1\cup
		H_2\cup\,\ldots\,=\Omega}, называется полной группой событий или разбиением пространства \Omega.

События H_1,H_2,\ldots, образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для любого события A могут быть сравнительно просто вычислены \Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_i) и собственно \Prob(H_i). Как, используя эти данные, посчитать вероятность события A?

Теорема 11 (формула полной вероятности). Пусть дана полная группа событий H_1, H_2,\,\ldots, Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле

\Prob(A)=\sum_{i=1}^\infty\Prob(H_i)\,\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}}
		H_i).

Доказательство. Заметим, что

A = A\cap\Omega =
		A\cap\biggl(\,{\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty H_i}\biggr)=
		{\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty}\, (A\cap H_i),
и события A\cap H_1, A\cap H_2,\, \ldots, попарно несовместны. Поэтому
\Prob(A)=\Prob\biggl(\,{\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty\,
		(A\cap H_i)}\biggr)
		=\sum_{i=1}^\infty\Prob(A\cap H_i)=
		\sum_{i=1}^\infty\Prob(H_i)\,\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_i).
Во втором равенстве мы использовали \sigma -аддитивность вероятностной меры, а в третьем - теорему 9 умножения вероятностей.

Формула Байеса

Теорема 12 (формула Байеса). Пусть H_1,H_2,\ldots - полная группа событий, и A - некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие H_k, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле

\Prob(H_k{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} A)=
\frac{\Prob(H_k)\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_k)}
{\sum\limits_{i=1}^\infty\Prob(H_i)\,\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_i)}.

Доказательство. По определению условной вероятности,

\qquad\Prob(H_k{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} A)=\frac{\Prob(H_k\cap A)}{\Prob(A)}=
\frac{\Prob(H_k)\,\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_k)}
{\sum\limits_{i=1}^\infty\Prob(H_i)\,\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_i)}.
\qquad

Пример 34. Вернемся к примеру 33. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: H_i=\{\text{изделие изготовлено i-м заводом}\} , i=1,2,3. Вероятности этих событий даны: \Prob(H_1)=0{,}25, \Prob(H_2)=0{,}35, \Prob(H_3)=0{,}4.

Пусть A=\{\text{изделие оказалось бракованным}\}. Даны также условные вероятности P(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_1)=0{,}05, P(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_2)=0{,}03, P(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_3)=0{,}04.

Убедитесь, что полученные нами в примере 33 вероятности совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле полной вероятности и по формуле Байеса.

Вероятности \Prob(H_i), вычисленные заранее, до проведения эксперимента, называют априорными вероятностями ( a'priori - "до опыта"). Условные вероятности \Prob(H_i {\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} A) называют апостериорными вероятностями ( a'posteriori - "после опыта"). Формула Байеса позволяет переоценить заранее известные вероятности после того, как получено знание о результате эксперимента. Эта формула находит многочисленные применения в экономике, статистике, социологии и т.п.

Пример 35. Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них будет стрелять по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок - с вероятностью 10^{-5}.

Можно сделать два предположения об эксперименте: H_1 - стреляет 1-й стрелок (выпал герб) и H_2 - стреляет 2-й стрелок (выпала решка). Априорные вероятности этих гипотез одинаковы: \Prob(H_1)=\Prob(H_2)=\frac12.

Как изменятся вероятности гипотез после проведения опыта? Рассмотрим событие A - пуля попала в мишень. Известно, что

\Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} H_1)=1, \quad  \Prob(A{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}}
H_2)=10^{-5}.
Вероятность пуле попасть в мишень равна
\Prob(A)=\frac12\cdot 1+\frac12\cdot 10^{-5}.

Предположим, что событие A произошло. Тогда по формуле Байеса

\Prob(H_1{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} A)=\frac{\frac12 \cdot 1}{\frac12
\cdot 1+\frac12 \cdot 10^{-5}}=
\frac{1}{1+10^{-5}}\approx 0{,}999\,99,
\Prob(H_2{\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} A)=\frac{\frac12 \cdot
10^{-5}}{\frac12 \cdot 1+\frac12 \cdot 10^{-5}}=
\frac{10^{-5}}{1+10^{-5}}\approx 0{,}000\,01.
Попадание пули в мишень сделало выпадение герба в 10^{5} раз более вероятным, чем выпадение решки.

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.