Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

8.3. Методы Адамса

Для решения ОДУ или систем ОДУ существуют одностадийные методы Адамса (линейные многошаговые методы), суть которых заключается в следующем.

Пусть известно приближенное решение в некоторых узлах расчетной сетки: tn, tn - 1, ..., tn - m. В окрестности этих узлов заменим f(t, x(t)) интерполяционным полиномом, записанным в форме Ньютона ([8.1], [8.2], а также "Интерполяция функций" ):

f(t) = f(tn) + f(tn, tn - 1) (t - tn) + 
+ f(tn, tn - 1, tn - 2) (t - tn) (t - tn - 1) + 
+ f(tn, tn - 1, tn - 2, tn - 3) (t - tn) (t - tn - 1) (t - tn - 2) + ...

Для того чтобы вычислить решение в точке n + 1, запишем его в интегральном виде

u_{n + 1} = u_n + \int\limits_{t_n}^{t_{n + 1}}{f(t, u(t)) dt} = \int\limits_{t_n}^{t_{n + 1}}{f(t) dt}

и подставим в него интерполяционный полином с переменным шагом

\begin{gather*}
u_{n + 1} = u_n + {\tau}_n f(t_n) + \frac{{{\tau}_n^2 }}{2} f(u_n, u_{n - 1}) + \\ 
+ \frac{{{\tau}_n^2 }}{6} (2{\tau}_n + 3{\tau}_{n - 1}) f(u_n, u_{n - 1}, u_{n - 2}) + \frac{{{\tau}_n^2 }}{{12}} (2{\tau}_n^2 + 8{\tau}_n {\tau}_{n - 1} + \\ 
+ 4{\tau}_n {\tau}_{n - 2} + 6{\tau}_{n - 1}^2 + 6{\tau}_n {\tau}_{n - 2})f(u_n, u_{n - 1}, u_{n - 2}, u_{n - 3}). 
\end{gather*}

Здесь \tau _{n} = t_{n + 1} - t_{n}, f(u_{n}, u_{n - 1}), f(u_{n}, u_{n - 1}, u_{n - 2}) и т.д. - разделенные разности.

Эта формула четвертого порядка точности. Если опустить последнее слагаемое, то получим формулу третьего порядка, если опустить еще и предпоследнее, то — второго, и т.д. Если же положить \tau _{n} = const, то формула значительно упростится:

$ u_{n + 1} = u_n + {\tau}f_n + \frac{{{\tau}^2 }}{2} \Delta_1 f_n + 
\frac{5}{{12}} {\tau}^3 \Delta_2 f_n + \frac{3}{8} {\tau}^4 \Delta_3 f_n, $

где \Delta _{k}f_{n}k - я конечная разность.

Для того чтобы начать вычисления по данному варианту метода Адамса, необходимо знать решение в четырех точках. Это можно сделать, например, с помощью методов Рунге - Кутты. Кроме того, коэффициент при погрешности, например, для метода четвертого порядка точности Рунге - Кутты существенно меньше соответствующего коэффициента для метода Адамса.

Первые четыре метода Адамса, от первого до четвертого порядка точности с постоянным шагом интегрирования, представляются в виде

$ 
\left. \begin{array}{l}
u_{n + 1} = u_n + {\tau}f_n, \\ 
u_{n + 1} = u_n + {\tau}\left({\frac{3}{2} f_n - \frac{1}{2} f_{n - 1}}\right), \\ 
u_{n + 1} = u_n + {\tau}\left({\frac{23}{12}f_n - \frac{16}{12} f_{n - 1} + \frac{5}{12}
f_{n - 2}}\right) \\ 
u_{n + 1} = u_n + {\tau}\left({\frac{55}{24} f_n - \frac{59}{24} f_{n - 1} + \frac{37}{24} f_{n - 2} - \frac{9}{24} f_{n - 3}}\right). 
\end{array} \right. $ ( 8.7)

В общем виде методы Адамcа могут быть записаны следующим образом:

u_{n + 1} = u_n + {\tau}\sum\limits_{j = 0}^{k - 1}{\eta_j \Delta^{j} f_j}.

Значительно большее значение в вычислительной практике имеют неявные методы Адамса, которые можно записать как

u_{n + 1} = u_n - {\tau}\sum\limits_{j = 0}^{k}{\tilde {\gamma}_j {\Delta}^{j} f_{n + 1}}.

Первые четыре неявных метода имеют вид

$ 
\left. \begin{array}{l}
k = 0: u_{n + 1} = u_n + {\tau}f_{n + 1}, \\ 
k = 1: u_{n + 1} = u_n + {\tau}\left({\frac{1}{2} f_{n + 1} + \frac{1}{2} f_n}\right), \\ 
k = 2: u_{n + 1} = u_n + {\tau}\left({\frac{5}{{12}}f_{n + 1} + \frac{8}{{12}} f_n - \frac{1}{{12}} f_{n - 1}}\right), \\ 
k = 3: u_{n + 1} = u_n + {\tau}\left({\frac{9}{{24}} f_{n + 1} + \frac{{19}}{{24}} f_n - \frac{5}{{24}} f_{n - 1} + \frac{1}{{24}} f_{n - 2}}\right). 
\end{array} \right. $

Первая и вторая формулы — неявный метод Эйлера и неявный метод трапеций соответственно. Порядок аппроксимации приведенных методов — с первого по четвертый соответственно.

Таблица 8.18.
j 0 1 2 3 4 5 6 7 8
$ \tilde {\gamma}_j $ 1
$ - \frac{1}{2} $
$ - \frac{1}{12} $
$ - \frac{1}{24} $
$ - \frac{19}{720} $
$ - \frac{3}{160} $
$ - \frac{863}{60 480} $
$ - \frac{275}{24 192} $
$ - \frac{33 953}{3 628 800} $
Таблица 8.19.
j 0 1 2 3 4 5 6 7 8
\eta _{j} 1
$ \frac{1}{2} $
$ \frac{5}{12} $
$ \frac{3}{8} $
$ \frac{251}{720} $
$ \frac{95}{288} $
$ \frac{19 087}{60 480} $
$ \frac{5 257}{17 280} $
$ \frac{1 070 017}{3 628 800} $

Для k = 8 коэффициент \tilde {\gamma}_j можно представить в виде таблицы (табл. 8.19) и ввести следующие обозначения: \Delta ^{j + 1}f_{n} = \Delta ^{j}f_{n} - \Delta ^{j}f_{n - 1} — "разности назад", \eta ^{j}коэффициенты, которые можно представить в виде таблицы (для k = 8 табл. 8.2). Для k = 1 получается уже знакомый явный метод Эйлера.