Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

8.2. Методы Рунге - Кутты

Наиболее распространенными при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений являются методы Рунге - Кутты. Их принято представлять в следующей форме [8.3].

Определение. r - шаговый явный метод для численного решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (8.1):

\left. \begin{array}{c}
k_1 = f(t_n, u_n), \\ 
k_2 = f(t_n + \alpha_2 {\tau}, u_n + {\tau}\beta_{21} k_1 ), \\
{k_3 = f(t_n + \alpha_3 {\tau}, u_n + {\tau}(\beta_{31}k_1 + \beta_{32} k_2 )), \ldots , }\\
k_r = f(t_n + \alpha_r {\tau}, u_n + {\tau}(\beta_{r1} k_1 + \ldots + \beta_{r, r - 1} k_2 )), \\
u_{n + 1} = u_n + {\tau}(\gamma_1 k_1 + \ldots + \gamma_r k_r), 
\end{array} \right. ( 8.4)

где ki — промежуточные вспомогательные величины.

Коэффициенты, определяющие конкретный метод, могут быть представлены в виде таблицы Бутчера (табл. 8.1). Нулевые коэффициенты \beta_{ij} , как правило, в таблице Бутчера не указывают.

Таблица 8.1.
0
\alpha_2 \beta_{21}
\alpha_3 \beta_{31} \beta_{32}
\ldots \ldots \ldots \ldots
\alpha_r \beta_{r1} \beta_{r2} \ldots \beta_{rr - 1}
\gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_{r - 1} \gamma_r

Обычно также используют условие, предложенное Куттой без объяснений и не являющееся обязательным [8.3]:

\alpha_n = \sum\limits_j{\beta_{nj}}.

Получим простейшие методы Рунге - Кутты. Для этого введем погрешность

\xi ({\tau}) = u(t + {\tau}) - \left[{u(t) + \sum\limits_{j = 0}^{r}{\gamma_j k_j} }\right]

и представим ее в виде разложения в ряд Маклорена

$ \xi ({\tau}) = \sum\limits_{i = 0}^{p}\frac{\xi^{(i)}(0)}{i!} {\tau}^{i} + \frac{\xi^{(p + 1)}(\theta{\tau})}{(p + 1)!} {\tau}^{p + 1}, $

где

$ \frac{\xi^{(p + 1)}(\theta{\tau})}{(p + 1)!} \tau^{p + 
1} $
— остаточный член ряда; 0 < \theta  < 1.

Будем полагать (что можно сделать соответствующим выбором коэффициентов)

\xi (0) = \xi '(0) = \dots  = \xi ^{(p)}(0) = 0.

В таком случае разложение для \xi (\tau ) имеет более простой вид:

$ \xi ({\tau}) = \frac{\xi^{(p + 1)}(\theta{\tau})}{(p + 1)!} {\tau}^{p + 
1}, $

где p — порядок точности метода.

  1. Пусть p = 1, r = 1. Тогда

    \xi (\tau ) = u(t + \tau ) - u(t) - \tau \gamma _{1} f(t, u),

    отсюда

    \begin{gather*}
\xi (0) = 0, \\ 
{\xi}^{\prime}(0) \equiv \left. {[u^{\prime}(t + {\tau}) - \gamma_1 f(t, u)]}\right|_{t = 0} = f(t, u) (1 - \gamma_1 ), \\ 
{\xi}^{\prime\prime}(0) = u^{\prime\prime}(t + {\tau}).
\end{gather*}

    Видно, что условие \xi (0) = 0 выполняется лишь при \gamma _{1} = 0, что соответствует методу Эйлера, при этом

    $ \frac{u(t + {\tau}) - u(t)}{{\tau}} - f(t, u) = \frac{{\xi}^{\prime\prime}(t + \theta{\tau})}{2} {\tau}= R_{\tau}, $

    где R_{\tau } — невязка, имеющая первый порядок малости по \tau.

  2. Рассмотрим более сложный случай: p = 2, r = 2. Тогда

    \xi ({\tau}) = u (t + {\tau}) - u(t) - {\tau}\gamma_1f(t, u) - {\tau}\gamma_2f(t + \alpha_2{\tau}, u + \beta_{21}{\tau}f(t, u)).

    Вводя обозначения

    $ \tilde {t} = t + \alpha_2 {\tau}, \tilde {u} = u + \beta_{21} {\tau}f(t, u), $

    получим следующие выражения для производных погрешности \xi по аргументу \tau:

    \begin{gather*}
\xi^{\prime}({\tau}) = u^{\prime}(t + {\tau}) - \gamma_1f(t, u) - \gamma_2f(\tilde{t}, \tilde{u}) - \\ 
- {\tau}\gamma_2[\alpha_2f^{\prime}_{t}(\tilde{t}, \tilde{u}) + \beta_{21}f^{\prime}_u(\tilde{t}, \tilde{u})f(t, u)], \\ 
{\xi}^{\prime\prime}({\tau}) = u^{\prime\prime}(t + {\tau}) - 2\gamma_2 [\alpha_2 f^{\prime}_{t}
(\tilde {t}, \tilde {u}) + \beta_{21} f^{\prime}_u (\tilde {t}, \tilde {u}) f(t, {u})] - \\ 
- {\tau}\gamma_2[\alpha_2^2f^{\prime\prime}_{tt}(\tilde{t}, \tilde{u}) + 2\alpha_2\beta_{21}
f^{\prime\prime}_{tu}(\tilde{t}, \tilde{u})f(t, u) + \beta^2_{21}f^{\prime\prime}_{uu}(\tilde{t}, \tilde{u})f^2(t, u)], \\ 
{\xi}^{\prime\prime\prime}({\tau}) = u^{\prime\prime}(t + {\tau}) - 3\gamma_2[\alpha_2^2f^{\prime\prime}_{tt}(\tilde{t}, \tilde{u}) + 2\alpha_2\beta_{21}f^{\prime\prime}_{tu}(\tilde{t}, \tilde{u})f(t, u) + \\ 
 + \beta^2_{21}f^{\prime\prime}_{uu}(\tilde{t}, \tilde{u})f(t, u)] + o({\tau}).
\end{gather*}

    Поставив в эти выражения следующие равенства:

    u' = f, u'' = f't + f'u f, 
    u''' = f''tt + 2f''tu f + f''uuf2 + f'u u'',

    получим

    \begin{gather*}
\xi (0) = 0, \xi ^{\prime}(0) = (1 - \gamma_1 - \gamma_2 ) f(t, u), \\ 
{\xi}^{\prime\prime}(0) = (1 - 2\gamma_2 \alpha_2 ) f^{\prime}_{t} (t, u) + (1 - 2\gamma_2 \beta_{21}) f^{\prime}_u (t, u) f(t, u), \\ 
{\xi}^{\prime\prime\prime} (0) = (1 - 3\gamma_2\alpha^2_2)f^{\prime\prime}_{tt}(t, u) + (2 - 
6\gamma_2\alpha_2\beta_{21})f^{\prime\prime}_{tu}(t, u)f(t, u) + \\ 
+ (1 - 3\gamma_2 \beta_{21}^2 ) f^{\prime\prime}_{uu} (t, u)f^2 (t, u) + f^{\prime}_u (t, u) u^{\prime\prime}(t).
\end{gather*}

    Второе из полученных соотношений выполняется при \gamma _{1} + \gamma _{2} = 1, третье — при 1 - 2\gamma_2 \alpha_2 = 0, 1 - 2\gamma_2 \beta_{21} = 0.

    Таким образом, имеется три алгебраических уравнения и четыре параметра. Эти уравнения определяют однопараметрическое семейство схем. Задавая один из параметров, можно получать различные методы Рунге - Кутты с аппроксимацией второго порядка. При формально одинаковом порядке аппроксимации они будут обладать различными свойствами ( устойчивостью, реальной погрешностью).

    Так, при \gamma _{1} = 1/2, имеем \gamma_2 = 1/2, 
\alpha_2 = 1, \beta_{21} = 1 ; метод будет выглядеть следующим образом:

    \begin{gather*}
\tilde u_{n + 1} = u_n + {\tau}f(t_n, u_n), \\
u_{n + 1} = u_n + \frac{{\tau}}{2} [f(t_n, u_n) + f(t_{n + 1}, \tilde u_{n + 1})].
\end{gather*}

    Положив \gamma _{1} = 0, имеем \gamma_2 = 1, \alpha_2 = 1/2, \beta_{21} = 1/2 ; соответствующий метод будет:

    \begin{gather*}
u_{n + 1/2} = u_n + \frac{{\tau}}{2} f(t_n, u_n), \\ 
u_{n + 1} = u_n + f\left({t_n + \frac{{\tau}}{2}, u_{n + 1/2}}\right). 
\end{gather*}
  3. При p = 2, r = 3 получаем систему уравнений для коэффициентов:

    \begin{gather*}
\alpha_2 = \beta_{21}, \alpha_3 = \beta_{31} + \beta_{32}, \\ 
\alpha_3 (\alpha_3 - \alpha_2 ) - \beta_{32}\alpha_2 (2 - 3\alpha_2 ) = 0, \\ 
\gamma_3 \beta_{32} \alpha_2 = 1/6, \gamma_2 \alpha_2 + \gamma_3 \alpha_3 = 1/2, 
\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 = 1, 
\end{gather*}

    имеющую бесконечное множество решений. Расчетные формулы одного из возможных методов имеют вид

    \begin{gather*}
k_1 = {\tau}f(t_n, u_n), k_2 = {\tau}f\left({t_n + \frac{{\tau}}{2}, u_n + \frac{{k_1 }}{2}}\right),\\ 
k_3 = {\tau}f(t_n + {\tau}, u_n - k_1 + 2k_2 ), \\ 
u_{n + 1} = u_n + \frac{{k_1 + 4k_2 + k_3 }}{6}.
\end{gather*}
  4. В случае p = 4, r = 4 имеем двухпараметрическое семейство методов Рунге - Кутты, из которого наиболее известен следующий "классический" метод:

    \begin{gather*}
k_1 = {\tau}f(t_n, u_n), k_2 = {\tau}f\left({t_n + \frac{{\tau}}{2}, u_n + \frac{{k_1 }}{2}}\right),\\ 
k_3 = {\tau}f\left({t_n + \frac{{\tau}}{2}, u_n + \frac{{k_2 }}{2}}\right), \\ 
k_4 = {\tau}f(t_n + {\tau}, u_n + k_3 ), \\ 
u_{n + 1} = u_n + \frac{{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 }}{6}.
\end{gather*}

В представлении Бутчера хорошо известные методы численного решения ОДУ выглядят следующим образом. Метод Эйлера (первый порядок аппроксимации ) табл. 8.2, метод Эйлера с пересчетом (второй порядок аппроксимации ) — табл. 8.3. Метод Хойна третьего порядка аппроксимациитабл. 8.4. Метод Рунге - Кутты третьего порядка аппроксимациитабл. 8.5.

Таблица 8.2.
0 0
1
Таблица 8.3.
0
1/2 1/2
0 1
Таблица 8.4.
0
1/3 1/3
2/3 0 2/3
1/4 0 3/4
Таблица 8.5.
0
1/2 1/2
1 0 1
1/6 2/3 1/6