Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Таким образом, можно написать приближенное равенство:

$ u(t) \approx \tilde {V_n} (t) \equiv \sum\limits_{i = 0}^{I}
{\frac{u^{(i)} (t_n)}{i!} (t - t_n)^{i}. } $

Полагая

u_{n + 1} = \tilde {V_n} (t_{n + 1}),

получаем приближенное значение u(t) в точке t = tn + 1. При I = 1 и t_{n + 1} - t_{n} = \tau  = const получаем метод Эйлера:

u_{n + 1} = u_{n} + \tau f\_ n.

Этот способ не получил распространения в практике решения дифференциальных уравнений из - за необходимости вычисления производных u(i), где i = 1 \div  I. По затратам машинного времени он заметно уступает другим методам, о которых будет идти речь далее.

В настоящее время в практике решения жестких систем ОДУ применяют так называемые многозначные методы, основанные на разложении в ряд Тейлора и вычислении производных. О жестких системах ОДУ будет рассказано ниже.

Рассмотрим еще один способ получения простейших одношаговых расчетных схем для численного решения уравнения (8.1), для чего напишем равенство

u(t + {\tau}) = u(t) + \int\limits_0^{t}{u^{\prime}(t + {\tau}) d{\tau}}.

После аппроксимации интеграла в правой части по формуле прямоугольников и замене его на величину \tau  u'(t), получим

u(t + \tau ) = u(t) + \tau u'(t) + O(\tau ^{2}),

или

u(t + \tau ) = u(t) + \tau f(t, u) + O(\tau ^{2}),

поскольку u'(t) = f(t, u).

Опуская член O(\tau ^{2}) и обозначая t = t_{n}, t + \tau  = t_{n + 1}, u(t) = u_{n}, u(t + \tau ) = u_{n + 1}, получим метод Эйлера.

Если рассматриваемый интеграл заменить формулой трапеций, получим

$ u(t + {\tau}) = u(t) + \frac{{\tau}}{2} [u^{\prime}(t) + u^{\prime}(t + {\tau})] + O({\tau}^3 ), $

откуда имеем

$ u_{n + 1} = u_n + \frac{{\tau}}{2} [f(t_n, u_n) + f(t_{n + 1}, u_{n + 1})]. $

Этот метод называется неявным методом трапеций. Для того чтобы метод был явным, его делают двухэтапным:

\begin{gather*}
\tilde u_{n + 1} = u_n + {\tau}f(f_n, u_n), \\ 
u_{n + 1} = u_n + \frac{{\tau}}{2}[f(t_n, u_n) + f(t_{n + 1}, \tilde u_{n + 1})], 
\end{gather*}

где $ \tilde u_{n + 1} $ — вспомогательная величина, вычисляемая на промежуточном этапе. Если этот же интеграл приблизить формулой прямоугольников со средней точкой, то получим

$ u(t + {\tau}) = u(t) + {\tau}u^{\prime}\left({t + \frac{{\tau}}{2}}\right) + O({\tau}^3 ). $

Снова воспользовавшись дифференциальным уравнением (8.1), преобразуем последнее выражение к виду

$ u(t + {\tau}) = u(t) + {\tau}f\left[{t + \frac{{\tau}}{2}, 
u\left({t + \frac{{\tau}}{2}}\right)}\right] + O({\tau}^3 ). $

Соответствующий неявный метод имеет вид

$ u_{n + 1} = u_n + {\tau}f\left[{t_n + \frac{{\tau}}{2}, u\left({t_n + \frac{{\tau}}{2}}\right)}\right] ; $

для его явной реализации можно воспользоваться следующей двухэтапной формулой:

\begin{gather*}
u_{n + 1/2} = u_n + \frac{{\tau}}{2} f(t_n, u_n), \\ 
u_{n + 1} = u_n + {\tau}f\left({t_n + \frac{{\tau}}{2}, u_{n + 1/2}}\right). 
 \end{gather*}