Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

8.5. Устойчивость методов Рунге - Кутты

Для исследования устойчивости методов Рунге - Кутты для численного решения задачи

$ \frac{d{u}}{dt} = f(t, u), \quad u(0) = u_0 $

представим ее дискретный аналог в виде

$ \frac{u_{n + 1} - u_n}{{\tau}} = F(t_n, u_n), $ ( 8.8)

здесь F(t, x)функция приращения метода Рунге - Кутты, которая, конечно, связана с функцией правой части системы ОДУ.

Теорема 2 ( Устойчивость методов Рунге - Кутты [8.3], [8.9]). Пусть f(t, x) Липшиц - непрерывна по второму аргументу, т.е.

\|f(t, x) - f(t, y)\| \le C\|x - y\|,

причем это условие выполняется для каждого t, C \ne C({\tau}) и C{\tau}\ll 1.

Тогда разностное уравнение (8.8) устойчиво и имеет место оценка

$ \|u_n - v_n\| \le e^{C_2t}\|u_0 - v_0\| + 
\frac{2\varepsilon e^{C_2t}}{C_2}. $ ( 8.9)

Здесь un, vn - решения близких систем разностных уравнений:

\begin{gather*}
\frac{u_{n + 1} - u_n}{{\tau}} = F(t_n, u_n) + \varepsilon_n^1, u_0 = u^0, \\ 
\frac{{v_{n + 1} - v_n}}{{\tau}} = {F}(t_n, v_n) + \varepsilon_n^2, v_0 = v^0 
 \end{gather*}

и \varepsilon — максимальная погрешность при вычислении правой части системы, т.е. для всех n (включая нуль)

\|\varepsilon^1_n\| \le \varepsilon, \|\varepsilon^2_n\| \le \varepsilon,

а постоянная C2 незначительно отличается от C.

Сформулируем вначале следующую лемму.

Лемма 1. Пусть C — постоянная Липшица для функции правых частей системы (8.1), тогда функция приращения F(t, u) для метода (8.8) удовлетворяет следующему неравенству:

\|F(t, u_n) - F(t, v_n)\| \le C_2\|u_n - v_n\|,

где

C_2 = C(\sum\limits_i|\alpha_i| + {\tau}C\sum\limits_{i, j}|\alpha_i\beta_{ij}| + 
{\tau}^2C^2\sum\limits_{i, j, k}|\alpha_i\beta_{ij}\beta_{jk}| + \ldots).

Суммирование в правой части последнего равенства ведется по каждому индексу от 1 до r > — числа стадий метода. Число сумм в скобках, конечно, тоже равно r >. Отметим также, что если в таблице Бутчера все коэффициенты неотрицательны (такой метод Рунге - Кутты, по аналогии с методом численного интегрирования, назовем правильным), то из условий порядка ( аппроксимации ) будет следовать, что в скобках стоят первые r > членов разложения e^{C\tau } в ряд Тейлора. Отсюда необходимое требование (в формулировке теоремы) к малости C\tau. В случае наличия отрицательных коэффициентов в таблице Бутчера константа Липшица C2 увеличится незначительно — число стадий метода конечно и невелико (в настоящее время известны методы максимум с 17 стадиями, [8.6]).

Доказательство данной леммы довольно простое, но громоздкое. Читатель может проделать это самостоятельно.

Доказательство теоремы.

Рассмотрим эти близкие уравнения. Вычитая из первого уравнения второе, получим

{\|\mathbf{u_{n + 1}} - \mathbf{v_{n + 1}}\| \le\|\mathbf{u_n} - \mathbf{v_n}\| + {\tau}\|\mathbf{F}(t, \mathbf{u_n}) - \mathbf{F}(t, \mathbf{v_n})\| + 2{\tau}\varepsilon} ( 8.10)

или, учитывая условие Липшица,

\|\mathbf{u_{n + 1}} - \mathbf{v_{n + 1}}\| \le (1 + C_2{\tau})\|\mathbf{u_n} - \mathbf{v_n}\|  + 2{\tau}\varepsilon.

Здесь константа C2 — постоянная Липшица функции приращения метода Рунге - Кутты, выражение для нее приведено выше в формулировке леммы 8.1.

Далее, применяя последовательно это неравенство, получим оценки:

\begin{gather*}
\|\mathbf{u_1} - \mathbf{v_1}\| \le (1 + C_2{\tau})\|\mathbf{u_0} - \mathbf{v_0}\| + 2{\tau}\varepsilon, \\ 
\|\mathbf{u_2} - \mathbf{v_2}\| \le (1 + C_2{\tau})\|\mathbf{u_1} - \mathbf{v_1}\| + 2{\tau}\varepsilon \le {(1 + C_2{\tau})}^2\|\mathbf{u_0} - \mathbf{v_0}\| + 2{\tau}\varepsilon[1 + (1 + C_2{\tau})], \\ 
\|\mathbf{u_3} - \mathbf{v_3}\| \le (1 + C_2{\tau})\|\mathbf{u_2} - \mathbf{v_2}\| + 2{\tau}\varepsilon \le \\ 
\le {(1 + C_2{\tau})}^3\|\mathbf{u_0} - \mathbf{v_0}\| + 2{\tau}\varepsilon[1 + (1 + C_2{\tau}) + {(1 + C_2{\tau})}^2], \\ 
\|\mathbf{u_n} - \mathbf{v_n}\| \le {(1 + C_2{\tau})}^{n}\|\mathbf{u_0} - \mathbf{v_0}\| + 2{\tau}\varepsilon[1 + (1 + C_2{\tau}) + \ldots + {(1 + C_2{\tau})}^{n - 1}], 
\end{gather*}

откуда, после суммирования прогрессии, имеем

\begin{gather*}
\|\mathbf{u_n} - \mathbf{v_n}\| \le {(1 + C_2{\tau})}^{n}\|\mathbf{u_0} - \mathbf{v_0}\| + 2{\tau}\varepsilon\frac{{(1 + C_2{\tau})}^{n} - 1}{(1 + C_2{\tau}) - 1} \le \\ 
\le {(1 + C_2{\tau})}^{n}[\|\mathbf{u_0} - \mathbf{v_0}\| + \frac{2\varepsilon}{C_2}]. 
\end{gather*}

Далее полагаем (1 + C_{2}\tau )^{n} = (1 + C_{2}\tau )^{t/\tau } \approx e^{C_2t} при C_2 {\tau}\ll 1.

После подстановки экспоненты в последнюю оценку получим неравенство (8.9).

Заметим, что экспоненциальный множитель в неравенстве (8.9) при больших t велик, а оценка, в наиболее общем случае, в предположении Липшиц - непрерывности функции \mathbf{F}(\mathbf{u}), неулучшаема. Однако в некоторых важных частных случаях эту оценку можно улучшить, рассматривая более тонкие свойства рассматриваемой функции. Докажем следующее утверждение [8.9], рассматривая задачу Коши для системы ОДУ.

Утверждение. Пусть матрица

$ A(u) = \frac{1}{2} (f_u (u ) + f_u^*(u)) $

строго отрицательна, т.е.

(A(u)\xi, \xi) \le - a(\xi, \xi)

для любых \xi , u и a > 0 (траектория, в окрестности которой выполняется это условие, называется устойчивой ).

Тогда при интегрировании правильным методом Рунге - Кутты k - го порядка аппроксимации погрешность приближенного решения есть O(\tau ^{k}) при любом t > 0 при выполнении условий a{\tau}\ll 1.

Утверждение будет доказано, если в оценке устойчивости метода не будет содержаться множитель eCt.