Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3363 / 765 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 5:

Численные методы решения экстремальных задач

Аннотация: Рассматриваются наиболее употребительные методы поиска минимума функций нескольких переменных.

4.1. Поиск безусловного минимума функции

Определение. Пусть на множестве u, состоящем из элементов u линейного метрического пространства определена скалярная функция \Phi (u).

  1. Говорят, что \Phi (u) имеет локальный минимум на элементе u*, если существует его конечная \varepsilon - окрестность, в которой выполнено

    \Phi (u^*) \le \Phi (u), \left\|{u - u^*}\right\| \le \varepsilon ( 4.1)

  2. \Phi (u) достигает глобального минимума в u на элементе u* (строгий, абсолютный минимум), если имеет место равенство

    \Phi (u^*) = \inf\limits_U\Phi (u) ( 4.2)

Замечание. Если uчисловая ось, решается задача на нахождение минимума функции одного переменного, если un - мерное векторное пространство, имеется задача на нахождение минимума функции n переменных, если uфункциональное пространство, то решается задача на отыскание функции, доставляющей минимум функционалу (задача оптимального управления или динамического программирования).

Если к (4.1) или (4.2) добавляются условия

\begin{gather*}
u_k^0 \le u_k \le  u_k^1, k = 1, \ldots , K \\  
F_i^0 \le \Phi_i (u) \le F_i^1, i = 1, \ldots , i, 
\end{gather*}

( u_k^{0,1} , F_i^{0,1} — числа, a \Phi _{i} — заданные функции), то это задача поиска условного минимума, если подобные ограничения отсутствуют, то это задача поиска безусловного минимума. Причем, если функции \Phi _{i}(u) линейны, задача поиска условного минимума называется задачей линейного программирования, если хотя бы одна из этих функций нелинейна, то имеется задача нелинейного программирования. Обе эти задачи вместе с задачей динамического программирования в теории оптимального управления называются задачами математического программирования.

Говорится о поиске минимума функции, не ограничивая общности, так как максимум функции \Phi (u) является минимумом функции - \Phi (u).

\Phi (u) называют целевой функцией.

Отметим связь между задачами вычисления корней системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ) и задачи минимизации.

Пусть на множестве U \in L^n решается система нелинейных уравнений

f1(u1, ..., un) = 0, 
...
fn(u1, ..., un) = 0.

Определим целевую функцию следующим образом:

\Phi (u_1, \ldots ,u_n ) = \sum\limits_{k = 1}^n{f_k^2}(u_1, \ldots ,u_n ).

В области U справедливо \Phi (u) \ge 0, причем минимальное значение \Phi (u) имеет при u = u*, где u* — корень рассмотренной системы. Поэтому ее решение эквивалентно поиску минимума \Phi (u) в U. Если \Phi (u) строго больше нуля, то система решений не имеет.

Теперь положим, что необходимо найти минимум целевой функции \Phi (u), у которой существуют первые производные. В этом случае задача сводится к решению СНАУ

\begin{gather*}
\frac{\partial\Phi (u_1, \ldots ,u_n )}{\partial u_1} = 0, \\  
\ldots \\  
\frac{\partial\Phi (u_1, \ldots ,u_n )}{\partial u_n } = 0. 
\end{gather*}

Точка, являющаяся решением указанной СНАУ, называется стационарной. Однако не всякая стационарная точка может быть точкой локального минимума целевой функции.

Следующую теорему приведем без доказательства.