Введение в вычислительную математику
[+]
Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3973 / 1245 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика
Специальности: Программист, Математик
Теги: beta, алгебра, алгоритмы, арифметика, вычисления, дифференциальные уравнения, курсы, линейная алгебра, матрица Якоби, метод трапеций, метод Эйлера, норма вектора, поиск, программирование, разделенные разности, разложение в ряд, системы нелинейных уравнений, спектральные задачи, таблицы бутчера, численное решение уравнений, элементы
Лекция 5:

Численные методы решения экстремальных задач
A
|
версия для печати
< Лекция 4 || Лекция 5: 1234567 || Лекция 6 >

Рис. 4.1.

Пусть u_{2} = \tau, тогда симметрично расположенная относительно центра отрезка точка имеет координату u_{1} = 1 - \tau (рис. 4.1).

Пробная точка u1 отрезка [0, 1] перейдет в пробную точку u_2^1 = 1 - \tau нового отрезка [0, \tau ]. Условием деления отрезков [0, 1] и [0, \tau ] в одном и том же отношении точками u_{2} = \tau и u_2^1 = 1 - \tau является равенство

$ \frac{1}{\tau } = \frac{\tau }{1 - \tau },\quad \mbox{или}\quad \tau ^2 + \tau - 1 = 0, $

откуда находим положительный корень

$ \tau = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0,61803 \ldots , $

т.е.

$ u_1 = 1 - \tau = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $,
$ u_2 = \tau = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. $

Для отрезка [a, b]

$ u_1 = a + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}(b - a); u_2 = a + \frac{\sqrt{5} - 1}{2}(b - a) $

Замечания.

  1. Точки u1, u2 обладают следующим свойством: каждая из них делит отрезок [a, b] на две неравные части так, что отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длин большей и меньшей части. Точки, обладающие таким свойством, называются точками золотого сечения, введенного Леонардо да Винчи.
  2. На каждой итерации отрезок поиска минимума уменьшается в одном и том же отношении

    $ \tau = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, $

    поэтому в результате n итераций длина становиться равной

    \Delta _{n} = \tau ^{2} (b - a).

    Следовательно, точность \varepsilon _{n} определения точки u* после n итераций равна

    \varepsilon_n = \frac{\Delta_n}{2} = \frac{1}{2}{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^n (b - a); $

    а условие окончания вычислительного процесса будет \varepsilon_n \le \varepsilon .

Метод парабол.

Методы, использующие исключение отрезков, основаны на сравнении функций в двух точках пробного отрезка, учитываются лишь значения функции в этих точках.

Учесть информацию о значениях функции между точками позволяют методы полиномиальной аппроксимации. Их основная идея заключена в том, что функция \Phi (u) аппроксимируется полиномом, а точка его минимума служит приближением к u*. Разумеется, в этом случае кроме свойства унимодальности (т.е. наличия единственного минимума на рассматриваемом отрезке), необходимо на \Phi (u) наложить и требования достаточной гладкости для ее полиномиальной аппроксимации.

Для повышения точности поиска u* можно как увеличивать степень полинома, так и уменьшать пробный отрезок. Поскольку первый прием приводит к заметному увеличению вычислительной работы и появлению дополнительных экстремумов, обычно пользуются полиномами второй ( метод парабол ) или третьей (метод кубической интерполяции) степени.

Алгоритм поиска минимума состоит в следующем.

Выбираем на пробном отрезке три точки u1, u2, u3 такие, что u1 < u2 < u3 и u_1 \le u^* \le u_3.

Построим параболу (квадратичный полином)

Q(u) = a0 + a1 (u - u1) + a2 (u - u1)(u - u2),

график которой проходит через точки (u1,f(u1)), (u2,f(u2)), (u3,f(u3)).

Коэффициенты ak, k = 1, 2, 3 находим из системы уравнений

Q(u1) = f(u1), 
Q(u2) = f(u2), 
Q(u3) = f(u3),

откуда

\begin{gather*} a_0 = f(u_1), a_1 = \frac{f(u_2) - f(u_1)}{u_2 - u_1}, \\ a_2 = \frac{1}{u_3 - u_2} \left[{\frac{f(u_3) - f(u_1)}{u_3 - u_1} - \frac{f(u_2) - f(u_1)}{u_2 - u_1}}\right]. \end{gather*}

Точку $ \bar u$ минимума Q(u) находим, приравнивания его производную к нулю:

\begin{gather*} \bar u = \frac{1}{2}(u_1 + u_2 - \frac{a_1}{a_2}) = \\ = \frac{1}{2} \left[{(u_1 + u_2) - \frac{(f_2 - f_1)(u_3 - u_2)}{u_2 - u_1}/(\frac{f_3 - f_1}{u_3 - u_1} - \frac{f_2 - f_1}{u_2 - u_1})}\right]. \end{gather*}

Далее полагаем: u^* \approx \bar u (очередное приближение точки минимума). Эту процедуру можно продолжить до достижения необходимой точности, выбирая новые точки uk, k = 1, 2, 3. Для этого можно использовать методы исключения отрезков, используя в качестве двух пробных точек u2 и \bar u, таких, что u2, \bar u \in [u_1,u_3].

Дальше >>
< Лекция 4 || Лекция 5: 1234567 || Лекция 6 >

Вопросы и ответы

вопросов: 1
Sanjar Ibrohimov
Sanjar Ibrohimov
ответить