Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Доказательство.

Из полученного в теореме 2 неравенства (8.9) имеем

\left\|{u_{n + 1} - v_{n + 1}}\right\| \le \left\|{(u_n - {v}_n) + {\tau}({F}(u_n) - 
f({v}_n))}\right\| + 2{\tau}\varepsilon,

где F(u)функция приращения метода Рунге - Кутты для систем ОДУ.

Оценим норму разности в правой части неравенства, используя более точные свойства функции F(u), чем Липшиц - непрерывность:

\begin{gather*}
F(u) - F(v) = F(u + s(u - v))|_{s = 0}^{s = 1} = \int\limits_0^1\frac{d}{ds} F(u + s(u - v))ds = \\ 
= \int\limits_0^1 F^{\prime}(u + s(u - v)) (u - v) ds.
 \end{gather*}

Здесь произведена замена переменных u(s) = v + s(u - v).

Поскольку

{u} - {v} = \int\limits_0^1 {(u - v) ds},

то получаем, что

\left. \begin{array}{l}
\left\|{(u - v) + {\tau}(F(u) - F(v))}\right\| = \\ 
{\left\|{\int\limits_0^1 {(E + {\tau}F^{\prime}_u (u + s(u - v))) (u - {v}) ds} }\right\| \le \int\limits_0^1{\left\|{E + {\tau}F^{\prime}_u}\right\| \left\|{u - {v}}\right\| ds}. }
\end{array} \right. ( 8.11)

Оценим норму || E + \tau F'_{u} ||. Для этого сначала оценим квадрат нормы

\begin{gather*}
\|E + {\tau}F^{\prime}_u\|^2 = \sup\limits_{\|\xi \ne 0\|} \frac{((E + {\tau}F^{\prime}_u)\xi, (E + {\tau}F^{\prime}_u)\xi)}{(\xi, \xi)} = \\ 
= \sup\limits_{\|\xi \ne 0\|} \frac{(\xi, \xi) + 2{\tau}(A \xi, \xi) + {\tau}^2(F^{\prime}_u \xi, F^{\prime}_u \xi)}{(\xi, \xi)} \le 1 - 2{\tau}a + O({\tau}^2). 
\end{gather*}

Здесь использовано определение нормы матрицы ( "Численное решение систем линейных алгебраических уравнений" )

$ {\|B\|}^2 = \sup\limits_{\|\xi \ne 0\|}\frac{(B\xi, B\xi)}{(\xi, \xi)} $

где Bматрица, \xiвектор из рассматриваемого пространства.

При малых \tau, пренебрегая членами порядка O(\tau _{2}), из последнего неравенства получаем требуемую оценку:

\|E + {\tau}F^{\prime}_u\| \le 1 - a{\tau}.

Тогда из (8.11) имеем

\int\limits_0^1\|E + {\tau}F^{\prime}_u\| \|u - v\| ds \le (1 - a{\tau})\|u - v\|,

откуда

\|u_{n + 1} - v_{n + 1}\| \le (1 - a{\tau})\|u_n - v_n\| + 2{\tau}\varepsilon.

Рассмотрев, как и ранее, цепочку неравенств

\begin{gather*}
\|u_1 - v_1\| \le (1 - a{\tau})\|u_0 - v_0\| + 2{\tau}\varepsilon, \\ 
\|u_2 - v _2\| \le (1 - a{\tau})\|u_1 - v _1\| + 2{\tau}\varepsilon, \ldots 
\end{gather*}

получим

$ \|u_n v_n\| \le {(1 - a{\tau})}^{n}\|u_0 - v_0\| + 2{\tau}\varepsilon \frac{1 - {(1 - a{\tau})}^n}{1 - (1 - a{\tau})}, $

или

$ 
{\|u_n - v_n\| \le {(1 - a{\tau})}^{n}\|u_0 - v_0\| + \frac{2\varepsilon}{a}.} $ ( 8.12)

Утверждение доказано.

Пусть теперь (A(u)\xi, \xi) \le 0 т.е. рассматриваются нейтральные, или "не неустойчивые" траектории исследуемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае аналогичным образом показывается, что

\|E + {\tau}F^{\prime}_u\| \le 1 + C_2{\tau}^2.

Тогда, проведя аналогичные выкладки, получим

\left\|{u_{n + 1} - v_{n + 1}}\right\| \le (1 + C_2{\tau}^2 ) \left\|{u_n - v_n}\right\| + 2{\tau}
\varepsilon,

откуда

$ 
\left\|{u_n - v_n}\right\| \le (1 + C_2 {\tau}^2)^{n} \left\|{u_0 - v_0 }\right\| + 2{\tau}\varepsilon \frac{{(1 + C_2 {\tau}^2 )}^n - 1}{C_2 {\tau}^2 }. $

Для метода k - го порядка аппроксимации \varepsilon = O({\tau}^{k}), k \ge 0. В этом случае решения близких систем на n - м шаге по времени отличаются на величину

{\|u_n - {v}_n\| \le e^{C_2{\tau}^2n}\|u_0 - {v}_0\| + O({\tau}^{k - 1})}. ( 8.13)

Отсюда видно, что при n \sim  \tau ^{- 2} (или t_{n} = n \tau  \sim  \tau ^{- 1} ) численное решение имеет точность O(\tau ^{k - 1}). Другими словами, на конечных интервалах времени t \sim  O(1) точность метода O(\tau ^{k}), на больших же временах t \sim  O(\tau ^{ - 1}) точность понижается до t \sim  O(\tau ^{k - 1}).

Такие случаи возникают, когда имеется необходимость проводить численные расчеты при исследовании процессов с большим количеством колебаний, вращений и т.д. Важно отметить то, что полученные оценки погрешности численного решения получены с использованием более сильных, чем условие Липшиц - непрерывности, свойств правых частей рассматриваемых дифференциальных уравнений.