Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Общие условия аппроксимации методов Рунге - Кутты и барьеры Бутчера. Вернемся к общей записи метода Рунге - Кутты (8.4) и соответствующей таблице Бутчера. Рассматривается задача

$ \frac{d {u}(t)}{d t} = f(t, u), $

u(0) = u0,

а численный метод имеет вид

\left. \begin{array}{c}
\mathbf{k_1} = \mathbf{f}(t_n, \mathbf{u_n}), \\ 
\mathbf{k_2} = \mathbf{f}(t_n + \alpha_2{\tau}, \mathbf{u_n} + {\tau}\beta_{21}\mathbf{k_1}), \\ 
\mathbf{k_3} = \mathbf{f}(t_n + \alpha_3{\tau}, \mathbf{u_n} + {\tau}(\beta_{31}\mathbf{k_1} + \beta_{32}\mathbf{k_2})), \\ 
\ldots \\ 
\mathbf{k_r} = \mathbf{f}(t_n + \alpha_r{\tau}, \mathbf{u_n} + {\tau}(\beta_{r1}\mathbf{k_1} + \ldots + \beta_{r, r - 1}\mathbf{k_2})), \\ 
\mathbf{u_{n + 1}} = \mathbf{u_n} + {\tau}(\gamma_1\mathbf{k_1} + \ldots + \gamma_r\mathbf{k_r}) 
\end{array} \right.

где ki — вспомогательные векторы.

Наряду с явными, рассмотрим также неявные методы Рунге - Кутты, определенные как

\left. \begin{array}{c}
\mathbf{k_1} = \mathbf{f}(t_n + \alpha_1{\tau}, \mathbf{u_n} + {\tau}\sum\limits_{j = 
1}^{r}\beta_{j1}\mathbf{u_j}), \\ 
\mathbf{k_2} = \mathbf{f}(t_n + \alpha_2{\tau}, \mathbf{u_n} + {\tau}\sum\limits_{j = 
1}^{r}\beta_{j2}\mathbf{u_j}), \\ 
\ldots \\ 
\mathbf{k_r} = \mathbf{f}(t_n + \alpha_r{\tau}, \mathbf{u_n} + {\tau}\sum\limits_{j = 
1}^{r}\beta_{j{r}}\mathbf{u_j}), \\ 
\mathbf{u_{n + 1}} = \mathbf{u_n} + {\tau}(\gamma_1\mathbf{k_1} + \ldots + \gamma_r\mathbf{k_r}); 
\end{array} \right.

таблица Бутчера для неявных методов примет вид

\alpha_1 \beta_{11} \beta_{12} \ldots \beta_{1, r - 1} \beta_{1r}
\alpha_2 \beta_{21} \beta_{21} \ldots \beta_{2, r - 1} \beta_{2r}
\alpha_3 \beta_{31} \beta_{32} \ldots \beta_{3, r - 1} \beta_{3r}$
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\alpha_r \beta_{r1} \beta_{r2} \ldots \beta_{rr - 1} \beta_{rr}
\gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_{r - 1} \gamma_r

Для вывода условий аппроксимации общего метода Рунге - Кутты необходимо действовать так же, как описано выше. Для этого введем погрешность

\xi ({\tau}) = u(t + {\tau}) - \left[{u(t) + \sum\limits_{j = 0}^{r}{\gamma_j k_j} }\right]

и представим ее в виде разложения в ряд Маклорена. Приравнивая члены при одинаковых степенях шага \tau, получим условия аппроксимации метода. Для того чтобы метод имел порядок 3, необходимо выполнение следующих условий:

\begin{gather*}
\sum\limits_{i = 1}^{r}{\gamma_i = 1, }\\ 
2\sum\limits_{i = 1}^{r}{\sum\limits_{k = 1}^{r}{\gamma_i \beta_{ik}} } = 1, \\ 
3\sum\limits_{i = 1}^{r}{\sum\limits_{k = 1}^{r}{\sum\limits_{l = 1}^{r}{\gamma_i \beta_{ik} \beta_{il}} }} = 1, \\ 
6\sum\limits_{i = 1}^{r}{\sum\limits_{k = 1}^{r}{\sum\limits_{l = 1}^{r}{\gamma_i \beta_{ik} \beta_{kl}} }} = 1, 
\end{gather*}

причем эти выражения упрощаются, если воспользоваться необязательными условиями Кутты. При повышении порядка аппроксимации метода возникают дополнительные условия на коэффициенты, система значительно усложняется.

Для того чтобы построить аппроксимирующую схему ( метод Рунге - Кутты ) необходимо найти набор коэффициентов метода. Как было показано выше, в случае двух стадий метода такой набор коэффициентов — не единственный, существует континуум методов второго порядка аппроксимации. Континуум решений система уравнений порядка для явных методов Рунге - Кутты имеет и в случае явных методов с тремя или четырьмя стадиями. Но для пятистадийного метода система уравнений порядка является несовместной. Это утверждение было доказано Бутчером и носит название "первый барьер Бутчера". Его обычно формулируют в виде теоремы [8.3].

Теорема (первый барьер Бутчера.) Среди явных методов Рунге - Кутты с числом стадий пять не существует методов пятого порядка аппроксимации.

Для повышения порядка до пятого приходится использовать шестистадийные методы. При увеличении числа стадий возникает второй барьер Бутчера — порядок аппроксимации метода, начиная с семи стадий, оказывается уже на 2 ниже, чем число стадий. При увеличении порядка аппроксимации метода приходится значительно увеличивать число стадий — барьеры Бутчера встречаются чаще.

Наличие такого барьера — одно из следствий быстрого роста констант Лебега при интерполяции на равномерной сетке. Дело в том, что явные методы Рунге - Кутты тесно связаны с квадратурными формулами интерполяционного типа. Достаточно очевидно, что классический метод Рунге - Кутты порядка 4 основан на применении формулы Симпсона, а правило 3/8 — на одноименной квадратурной формуле. Как было показано в "Численное интегрирование" , с повышением порядка аппроксимации квадратурные формулы перестают быть правильными, а это следствие роста константы Лебега. Тогда и появляются барьеры Бутчера при построении методов решения систем ОДУ.

От этого недостатка свободны некоторые неявные методы, основанные на квадратурных формулах Гаусса.