Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Значения коэффициентов классического метода Рунге - Кутты (четвертого порядка аппроксимации ) указаны в табл. 8.6. Правило трех восьмых (четвертый порядок аппроксимации ) представлено в табл. 8.7. Этот метод имеет, по - видимому, наименьшую погрешность среди явных схем Рунге - Кутты четвертого порядка аппроксимации. Метод Бутчера (шестой порядок аппроксимации ) указан в табл. 8.8. Очевидна связь между методами, приведенными в таблицах 8.5 и 8.6 с формулой Симпсона численного интегрирования.

Таблица 8.6.
0
1/2 1/2
1/2 0 1/2
1 0 0 1
1/6 2/6 2/6 1/6
Таблица 8.7.
0
1/3 1/3
2/3 - 1/3 1
1 1 - 1 1
1/8 3/8 3/8 1/8

По - видимому, наивысший порядок аппроксимаций (десятый) был получен в работах Куртиса [8.4], позже — Хайрера [8.5]. Соответствующие коэффициенты не приведены ввиду их громоздкости.

Таблица 8.8.
0
1/2 1/2
2/3 2/9 4/9
1/3 7/36 2/9 - 1/12
5/6 - 35/144 - 55/36 35/48 15/8
1/6 - 1/360 - 11/36 - 1/8 1/2 1/10
1 - 41/260 22/13 43/156 - 118/39 32/195 80/39
13/200 0 11/40 11/40 4/25 4/25 13/200

В численной практике используются также так называемые вложенные формулы Рунге - Кутты [8.3], [8.6], [8.7], в которых наряду с соотношением

{u_{n + 1} = u_n + {\tau}(\gamma_1k_1 + \ldots + \gamma_2k_2)} ( 8.5)

используется соотношение того же вида, но с другим набором весовых множителей

$ {\bar u_{n + 1} = u_n + {\tau}(\bar {\gamma}_1 k_1 + \ldots + \bar {\gamma}_2 k_2 ), } $ ( 8.6)

причем порядки аппроксимации в них различаются: q — порядок аппроксимации (8.6), а p — (8.5). В этом случае порядок метода указывается, как p(q), а таблица Бутчера имеет вид табл. 8.9. Последнюю строчку в этой таблице иногда называют оценщиком погрешности.

Таблица 8.9.
0
\alpha_2 \beta_{21}
\alpha_3 \beta_{31} \beta_{32}
\ldots \ldots \ldots \ldots
\alpha_r \beta_{r1} \beta_{r2} \ldots \beta_{rr - 1}
u1 \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_{r - 1} \gamma_r
u2 \bar {\gamma}_1 \bar {\gamma}_2 \ldots \bar {\gamma}_{r - 1} \bar {\gamma}_r

Приближения точного решения с разными остаточными членами (8.5) и (8.6) позволяют оценить погрешность численного метода, полученную в конкретном расчете, и служат для повышения точности еще на один порядок в каждой точке или (что бывает чаще) для автоматического выбора длины следующего шага интегрирования (см. 8.4).

Приведем несколько наиболее известных вложенных методов Рунге - Кутты. Метод Фельберга 2(3) представлен в табл. 8.10, метод Ческино 2(4) — в табл. 8.11.

Таблица 8.10.
0
1 1
1/2 1/4 1/4
1/2 1/2 0
1/6 1/6 4/6
Таблица 8.11.
0
1/4 1/4
1/2 0 1/2
1 1 - 2 2
1 - 2 2 0
1/6 0 4/6 1/6

Метод Кутты - Мерсона 4(5) приведен в табл. 8.12. Этот метод — наиболее простой среди вложенных методов Рунге - Кутты порядка 4(5), поскольку требует небольшого числа обращений к функциям вычисления правых частей системы уравнений (8.1) и имеет простые коэффициенты.

Таблица 8.12.
0
1/3 1/3
1/3 1/6 1/6
1/2 1/8 0 3/8
1 1/2 0 - 3/2 2
1/2 0 - 3/2 2 0
1/6 0 0 2/3 1/6

Для 5 этапного метода Кутты - Мерсона 4(5) приведем подробные расчетные формулы:

\begin{gather*}
k_1 = {\tau}f(t_n, u_n), k_2 = {\tau}f\left({t_n + \frac{{\tau}}{3}, u_n + \frac{{k_1 }}{3}}\right), \\ 
k_3 = {\tau}f\left({t_n + \frac{{\tau}}{3}, u_n + \frac{{k_1 }}{6} + \frac{{k_2 }}{6}}\right), \\ 
k_4 = {\tau}f\left({t_n + \frac{{\tau}}{2}, u_n + \frac{{k_1 }}{8} + \frac{{3k_3 }}{8}}\right), \\ 
k_5 = {\tau}f\left({t_n + {\tau}, u_n + \frac{{k_1 }}{8} - \frac{{3k_3 }}{8} + 2k_4 }\right), \\ 
u_1 (t + {\tau}) = u(t) + \frac{{k_1 }}{2} - \frac{{3k_3 }}{2} + 2k_4, \\ 
u_2 (t + {\tau}) = u(t) + \frac{{k_1 }}{6} + \frac{{2k_4 }}{3} + \frac{{k_5}}{6}.
\end{gather*}

Рассмотрим вкратце другие вложенные методы и соответствующие им таблицы. Метод Фельберга 4(5) представлен в табл. 8.13, метод Дормана - Принса 5(4) — в табл. 8.14 (см. также [8.6]).

Таблица 8.13.
0
1/4 1/4
3/8 3/32 9/32
$ \frac{12}{13} $
$ \frac{1 932}{2 197} $
$ \frac{7 296}{2 197} $
1
$ \frac{439}{216} $
- 8
$ \frac{3 680}{513} $
$ - \frac{845}{4 104} $
$ \frac{1}{2} $
$ - \frac{8}{27} $
2
$ - \frac{3 544}{2 565} $
$ \frac{1 859}{4 104} $
$ - \frac{14}{40} $
$ \frac{25}{216} $
0
$ \frac{1 408}{2 565} $
$ \frac{2 197}{4 104} $
$ - \frac{1}{5} $
0
$ \frac{16}{135} $
0
$ \frac{6 656}{12 825} $
$ \frac{28 561}{56 430} $
$ - \frac{9}{50} $
$ \frac{2}{55} $

Этот метод замечателен тем, что он не только минимизирует остаточный член в оценщике погрешностей, но и требует меньшей памяти для хранения таблицы коэффициентов метода. Действительно, последняя строка \beta совпадает с одной из строк \gamma.

С методом Фельберга более высокого порядка 7(8) можно ознакомиться в [8.8], значения его коэффициентов приведены в табл. 8.15.

Среди современных методов решения нежестких систем ОДУ наилучшие результаты дает метод Дормана - Принса 8(7). Он обладает наименьшей погрешностью среди всех схем порядка 8, коэффициенты указаны в табл. 8.16, 8.17. С вложенными формулами Рунге - Кутты, разработанными в 90 - х годах, можно ознакомиться в монографии [8.10].

Таблица 8.14.
0
1/5 1/5
3/10 3/40 9/40
4/5 44/45 - 56/15 32/9
$ \frac{8}{9} $
$ \frac{19 372}{6 561} $
$ - \frac{25 360}{2 187} $
$ \frac{64 448}{6 561} $
$ - \frac{212}{729} $
1
$ \frac{9 017}{3 168} $
$ - \frac{355}{33} $
$ \frac{46 732}{5 247} $
$ \frac{49}{176} $
$ - \frac{5 163}{18 656} $
1
$ \frac{35}{384} $
0
$ \frac{500}{1 113} $
$ \frac{125}{192}$
$ - \frac{2 187}{6 784} $
$ \frac{11}{84} $
$ \frac{35}{384} $
0
$ \frac{500}{1 113} $
$ \frac{125}{192}$
$ - \frac{2 187}{6 784} $
$ \frac{11}{84} $
0
$ \frac{5 179}{57 600} $
0
$ \frac{7 571}{16 695} $
$ \frac{393}{640} $
$ - \frac{92 097}{339 200} $
$ \frac{187}{2 100} $
$ \frac{1}{40} $

методы Рунге - Кутты — это одношаговые методы, так как позволяют найти значение искомой функции в точке tn + 1 используя только значение функции в точке tn. При этом не учитывается информация о функции, накопленная на предыдущих этапах расчета. Такая информация может быть полезна при решении жестких задач или при автоматическом выборе следующего шага интегрирования.

Один из способов учета предыстории заключается в использовании общих многошаговых методов. Частный случай — методы Адамса — рассмотрен в следующем параграфе. Другой способ учета описан в 8.4.

Таблица 8.15.
0
2/27 2/27
1/9 1/36 1/12
1/6 1/24 0 1/8
5/12 5/12 0 - 25/16 25/16
1/2 1/20 0 0 1/4 1/5
5/6 - 25/108 0 0 125/108 - 65/27 125/54
1/6 31/300 0 0 0 61/225 - 2/9 13/900
2/3 2 0 0 - 53/6 704/45 - 107/9 67/90 3
1/3 - 91/108 0 0 23/108 - 976/135 311/54 - 19/60 17/6 - 1/12
1
$ \frac{2383}{4100} $
0 0
$ - \frac{341}{164} $
$ \frac{4496}{1025} $
$ - \frac{301}{82} $
$ \frac{2133}{4100} $
$ \frac{45}{82} $
$ \frac{45}{164} $
$ \frac{18}{41} $
0 3/205 0 0 0 0 - 6/41 - 3/205 - 3/41 3/41 6/41 0
1
$ - \frac{1777}{4100} $
0 0
$ - \frac{341}{164} $
$ \frac{4496}{1025} $
$ - \frac{289}{82} $
$ \frac{2193}{4100} $
$ \frac{51}{82} $
$ \frac{33}{164} $
$ \frac{12}{41} $
0 1
41/840 0 0 0 0 34/105 9/35 9/35 9/280 9/280 41/840 0 0
0 0 0 0 0 34/105 9/35 9/35 9/280 9/280 0 41/840 41/840
Таблица 8.16.
$ \beta_{ij} $ i
2 3 4 5 6 7
j 1 1/18 1/48 1/32 5/16 3/80
$ \frac{29 443 841}{614 563 906} $
2 1/16 0 0 0 0
3 3/32 - 75/64 0 0
4 75/64 3/16
$ \frac{77 736 538}{692 538 347} $
5 3/20
$ - \frac{28 693 883}{1 112 000 000} $
6
$ \frac{23 124 283 393}{1 800 000 000} $
\beta_{ij} i
8 9 10 11 12 13
j 1
$ \frac{16 016 141}{946 692 911} $
$ \frac{39 632 708}{573 591 083} $
$ \frac{246 121 993}{1 340 847 787} $
$ - \frac{1 028 468 189}{846 180 014} $
$ \frac{185 892 177}{718 116 043} $
$ \frac{403 863 854}{491 063 109} $
2, 3 0 0 0 0 0 0
4
$ \frac{61 564 180}{158 732 637} $
$ - \frac{433 636 366}{683 701 615} $
$ - \frac{37 695 042 795}{15 268 766 246} $
$ \frac{8 478 235 783}{506 512 852} $
$ - \frac{3 185 094 517}{667 107 341} $
$ - \frac{5 068 492 393}{434 740 067} $
5
$ \frac{22 789 713}{633 445 777} $
$ - \frac{421 739 975}{2 616 292 301} $
$ - \frac{309 121 744}{1 061 227 803} $
$ \frac{1 311 729 495}{1 432 422 823} $
$ - \frac{477 755 414}{1 098 053 517} $
$ - \frac{411 421 997}{543 043 805} $
6
$ \frac{545 815 736}{2 771 057 229} $
$ \frac{100 302 831}{723 423 059} $
$ - \frac{12 992 083}{490 766 935} $
$ - \frac{10 304 129 995}{1 701 304 382} $
$ - \frac{703 635 378}{230 739 211} $
$ \frac{652 783 627}{914 296 604} $
7
$ - \frac{180 193 667}{1 043 307 555} $
$ \frac{790 204 164}{839 813 087} $
$ \frac{6 005 943 433}{2 108 947 869} $
$ - \frac{48 777 925 059}{3 047 939 560} $
$ \frac{5 731 566 787}{1 027 545 527} $
$ \frac{11 173 962 825}{925 320 556} $
8
$ \frac{800 635 310}{3 783 071 287} $
$ \frac{393 006 217}{1 396 673 457} $
$ \frac{15 336 726 248}{1 032 824 649} $
$ \frac{5 232 866 602}{850 066 563} $
$ - \frac{13 158 990 841}{6 184 727 034} $
9
$ \frac{123 872 331}{1 001 029 789} $
$ - \frac{45 442 868 181}{3 398 467 696} $
$ - \frac{4 093 664 535}{808 688 257} $
$ \frac{3 936 647 629}{1 978 049 680} $
10
$ \frac{3 065 993 473}{597 172 653} $
$ \frac{3 962 137 247}{1 805 957 418} $
$ - \frac{160 528 059}{685 178 525} $
11
$ \frac{65 686 385}{487 910 083} $
$ \frac{248 638 103}{1 413 531 060} $
Таблица 8.17.
i 1 2 3 4 5 6 7 8
$ \alpha_i $ 1
$ \frac{1}{18} $
$ \frac{1}{12} $
$ \frac{1}{8} $
$ \frac{5}{16} $
$ \frac{3}{8} $
$ \frac{59}{400} $
$ \frac{93}{200} $
\gamma _{i}
$ \frac{14 005 451}{335 480 064} $
0 0 0 0
$ - \frac{59 238 493}{1 068 277 825} $
$ \frac{181 606 676}{758 867 731} $
$ \frac{561 292 985}{797 845 732} $
$ \bar {\gamma}_i  $
\frac{13 451 932}{455 176 623}
0 0 0 0
$ - \frac{808 719 846}{976 000 145} $
$ \frac{1 757 004 468}{5 645 159 321} $
$ \frac{656 045 339}{265 891 186} $
i 9 10 11 12 13
$ \alpha_i $
$ \frac{5 490 023 248}{9 719 169 821} $
$ \frac{1 201 146 811}{1 299 019 798} $
$ \frac{3}{20} $
1 1
\gamma _{i}
$ - \frac{1 041 891 430}{1 371 343 529} $
$ \frac{760 417 239}{1 151 165 299} $
$ \frac{118 820 643}{751 138 087} $
$ - \frac{528 747 749}{2 220 607 170} $
$ \frac{1}{4} $
$ \bar {\gamma}_i $
- \frac{3 867 574 721}{1 518 517 206}
$ \frac{465 885 868}{322 736 535} $
$ \frac{5 301 238}{667 516 719} $
$ \frac{2}{45} $
0