Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

8.7. Задачи для самостоятельного решения

  1. Для уравнения Ферхюльста (8.20) рассмотреть неявный метод Эйлера

    {y_{n + 1} = y_n + {\tau}ay_{n + 1} (1 - y_{n + 1}).} ( 8.23)

    Для определения yn + 1 можно воспользоваться (8.23), решая его как квадратное уравнение. Что можно сказать про устойчивость такого метода? Как правильно выбрать корень квадратного уравнения (8.23)?

  2. Реализовать явный и неявный методы Эйлера и метод Рунге - Кутты порядка аппроксимации 4 для системы уравнений Лотки - Вольтерра "хищник - жертва", которая описывает динамику простейшей экосистемы:
    \begin{gather*}
\dot {x} = ax - xy, \\ 
\dot {y} = bxy - cy, \\ 
x(0) = x_0 > 0, y(0) = y_0 > 0, 
\end{gather*}

    Здесь x — безразмерная численность "жертв", y — численность "хищников", a, b, C — положительные константы, b < 1.

    Построить графики численных решений на фазовой плоскости (x, y). Построить там же график точного решения. Объяснить полученные результаты. Что будет в случае, когда конечное время, до которого происходит расчет, T \gg 1?

    Построение точного решени в [8.13, с. 36]. На фазовой плоскости точному решению соответствует кривая

    \frac{{dy}}{{dx}} = - \frac{{(bx - c)y}}{{x(a - y)}}.

    Вводя другую параметризацию кривой y(x), получим, что она может быть описана системой уравнений

    \begin{gather*}
\frac{dy}{d{\tau}} = \frac{y}{a - y}, \\ 
\frac{dx}{d{\tau}} = \frac{x}{bx - c}. \end{gather*}

    Эта система легко интегрируется, а после исключения параметра \tau находим первый интеграл исходной системы.

  3. Решить численно систему из предыдущей задачи, когда скорость размножения жертв является периодической функцией времени: a(t) = a_{0}(1 + \sin \omega t)), \omega — параметр. Что происходит с решением при увеличении \omega?
  4. Уравнение Ван - дер - Поля [8.3, с. 115 - 119]

    \begin{gather*}
y^{\prime\prime} + a(y^2 - 1)y^{\prime} + y = 0, \\ 
y(0) = y_0 > 0; y^{\prime} (0) = 0, 0 \le t \le 30, a > 0 (0 \div 1 000)
\end{gather*}

    описывает нелинейные колебания в различных системах.

    • а) Проинтегрировать уравнение численно явными методами Рунге - Кутты различных порядков. При каких шагах \tau методы становятся неустойчивыми?

      Указание: представить уравнение в виде системы

      y' = - p, 
      p' = ap(y2 - 1) + y,

      или в виде

      \begin{gather*}
y^{\prime} = - a(\frac{{y^3 }}{3} - y) + p, \\ 
p^{\prime} = - y
 \end{gather*}

      (представление Льенара).

    • б) Реализовать для уравнения Ван - дер - Поля следующие полуявные методы Рунге - Кутты:

      $ 
\left. \begin{array}{l}
\gamma \\
{1 - \gamma} \\
\end{array} \right.
\left| \begin{array}{ccc}
\gamma \quad 0 & \gamma_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{6} & (\mbox{или } \frac{3 - \sqrt{3}}{6}) \\ 
\frac{1 - 2\gamma \quad \gamma}{1/2 \quad 1/2}, & \gamma_2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} & (\mbox{или } \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) \\
\end{array} \right. $

      Какой порядок аппроксимации они имеют? Устойчивы ли они?

  5. Уравнение Эйлера

    Решить численно задачу о колебаниях в системе, где и возвращающая сила, и коэффициент вязкого трения убывают со временем (уравнение Эйлера):

    $ \ddot {x} + \frac{\dot {x}}{t} + 100\frac{x}{t^2 } = 0, $

    где t \in [1, 100], x (1) = 1, \dot {x}(1) = 1.

    Использовать для численного решения сетки с шагом \tau  = 0, 1

    • а) явный метод Эйлера;
    • б) неявный метод Эйлера;
    • в) методы Рунге - Кутты порядка 2, 3, 4.

    Уменьшить \tau вдвое. Что происходит с решением? Какому решению верить?

    Сравнить численное решение с точным.

    Указание. Будем искать точное решение в виде x = t^{\alpha}, где \alpha, вообще говоря, комплексное. Рекомендации можно найти в [8.14].

  6. Уравнение Эйлера

    Рассмотрим более простую систему без трения:

    $ \ddot {x} + 100\frac{x}{t^2 } = 0. $

    Выполнить пункты предыдущей задачи. В чем заключается разница? Точное решение уравнения можно найти в [8.14] или решить уравнение самостоятельно, положив x = ct^{\alpha}.

  7. Уравнение Хатчинсона

    Одной из модификаций уравнений Ферхюльста является уравнение Ферхюльста с запаздыванием (уравнение Хатчинсона):

    $ \dot {y} = ay}(1 - y(t - 1)). $

    Заметим, что в качестве начальных условий необходимо задавать y(t) при t \in [- 1, 0], т.е. не в одной точке, а на отрезке.

    • а) Аналитически решить уравнение так называемым методом шагов. Задавая конкретную функцию y(t) = g(t) при t \in [- 1, 0] (начальные условия), интегрируем уравнение Хатчинсона на полуинтервале при t \in ]0, 1]:
      $ \frac{dy}{y} = a(1 - g(t)) dt. $

      Зная y(t) на [0, 1], можно найти y(t) на [1, 2] и т.д.

      Если положить y(t) = 1/2 при t \in ] - 1, 0], y(t) = t , y(t) = e - t, что происходит в точках t = 1, 2, 3, ... n, ...?

    • б) Построить численный метод интегрирования уравнение Хатчинсона. Найти решение в случае

      y(t) = e^{- t^2 }, t \in [- 1, 0]

      при a \ll \pi/2, a = \pi/2, a \gg \pi/2.

      О численном решении уравнений с запаздыванием [8.3, с. 304 - 319].

  8. Уравнение Минорского

    $ \ddot {y} + 2r\dot {y} + \omega ^2 y + 2q\dot {y}\left({t - 1}\right) = 
\varepsilon \dot {y}^3 \left({t - 1}\right) $

    встречается в различных механических и электротехнических задачах, в которых имеется запаздывание и нелинейность (здесь r, \omega , q — постоянные, 0 < \varepsilon \ll 1 ). Построить численное решение, задавая начальные данные на отрезке t \in [- 1, 0]. Рассмотреть зависимость решения от параметров r, \omega , q. В качестве одного из характерных случаев значений этих параметров рассмотреть следующие: r = - 1, q = (- 1)n, \omega = n\pi.

    Подробное качественное исследование уравнения Минорского представлено в [8.12, с. 191 - 211].

  9. Уравнение Тинбергена

    $ \dot {y} + by(t - 1) = \varepsilon [y(t - 1)]^3, \quad 0 < \varepsilon \ll 1 $

    получено при исследовании циклов в судостроительной промышленности. Предполагается, что время постройки одного судна постоянно (и принято за единицу). Превышение темпа закладки новых судов над средним теоретическим темпом закладки пропорционально нелинейной функции y - (\varepsilon /b)y^{3}. Для рассматриваемого случая \varepsilon  > 0 уравнение показывает, что при возрастании отклонения судостроители должны реагировать относительно более консервативно из - за недостатка материалов, рабочей силы и т.п. Решить уравнение численно, задавая начальные данные на отрезке t \in [- 1, 0]. Рассмотреть характерные режимы: 1) 0 < b < 1/e, 2) b \approx \pi /2, 3) b > \pi /2.

    Показать, что в интервале 0 < b < \pi /2 решение уравнения ведет себя так же, как решение линейного уравнения ( \varepsilon  = 0 ). Исследование поведения решения уравнения Тинбергена имеется в [8.12, с. 180 - 184].