Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

При \lambda  \approx  3, 54 цикл P4 периода 4 становится отталкивающим, | \mu (u_{5}, \dots , u_{8}) | > 1 ; при этом появляются притягивающий цикл P_8 периода 8. Дальнейшее увеличение параметра \lambda будет приводить к появлению циклов P16, P32 и т.д. Происходит каскад бифуркаций удвоения периода.

Заметим, что рассмотренный простой процесс имеет сложное поведение. Наблюдается каскад бифуркаций при увеличении величины \lambda ; кроме того, все циклы, которые при этом встречаются, имеют период 2p. Эта важнейшая закономерность, которая прослеживается не только в расчетах, но и в природе! Рассмотренные бифуркации при увеличении \lambda можно наглядно представить на бифуркационной диаграмме ( рис. 5.8). Диаграмма получается, если обозначить через \Lambda _{1}, \Lambda _{2} те значения \lambda, в которых происходят бифуркации, а через \lambda _{1}, \lambda _{2}, ... при которых u = 0, 5 является элементом циклов P2, P4, ...; по вертикальной оси откладываются значения предельных точек отображения. Обозначим за d1, d2, ... величины, равные расстоянию между x = 0, 5 и ближайшим к нему элементом цикла P2 при \lambda   = \lambda _{k}. Численный эксперимент показал, что \Lambda _{k} и \lambda _{k} при достаточно больших k ведут себя, как геометрическая прогрессия со знаменателем \delta = 4, 66920\ldots, т.е.

$ \lim\limits_{k \to \infty }\frac{\Lambda_{k + 1} - \Lambda_k}{\Lambda_{k + 2} - \Lambda_{k + 1}} = \delta.  $

Отношение dk/dk + 1 имеет предел, равный \alpha = 2, 50290 \ldots . Эти закономерности были замечены американским математиком Фейгенбаумом.


Рис. 5.8.

При дальнейшем увеличении \lambda последовательность \left\{{u_k}\right\}_{k = 0}^\infty приобретает хаотический характер ( \lambda  = \lambda_\infty    \approx  3, 569 ), что видно на рис. 5.9.


Рис. 5.9.

Примечательно, что каскады Фейгенбаума имеют фрактальный характер (т.е. сохраняют подобие при изменении масштабов, рис. 5.10 а, б).


Рис. 5.10.

Изучение графиков функций f2(u) и f1(u) показывает, что их фрагменты вблизи максимумов близки друг к другу, более того, они отличаются лишь масштабами. Оказывается, что такое же подобие имеет место для функции f^{2^k}, n > 1 при \lambda  = \lambda _{k}, и выполняется тем точнее, чем больше n. Если положить u' = u - 1 / 2 (в дальнейшем штрих будем опускать) и считать \alpha коэффициентом растяжения вдоль осей, то для некой симметричной функции g(u), определенной на отрезке [- 1, 1], можно получить следующее функциональное уравнение:

$  g(u) = - \alpha g\left[{g\left({- \frac{u}{\alpha }}\right)}\right], $

которое универсально определяет \alpha:

g(0) = - \alpha g(g(0)).

Вблизи максимума g(x) должна быть близка к квадратичной параболе, причем g(0) = 1. В теории универсальности показывается, что эта функция вычисляется с помощью ряда

g(u) = 1 - 1, 52763u2 + 0, 104815u4 - 0, 0267057u6 + ...

Пусть теперь \lambda  = 3, 83. В этом случае из хаотической области, изображенной на рис. 5.10, появляется устойчивый цикл P3 (рис. 5.11 а, b представляют циклы в последовательные моменты времени).


Рис. 5.11a.

Рис. 5.11b.

Циклу на рисунке выше соответствует самое большое окно устойчивых циклов P_{3 \cdot 2^{k}}. Чередование хаотических и регулярных зон — называется перемежаемостью. Возможно, нечто подобное наблюдается в гидродинамических потоках, где ламинарные зоны чередуются с турбулентными.