Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

Определение. Точка a \in X называется периодической периода m, если fm (a) = a и f^{i} (a) \ne a при 0 < i < m.

Отметим, что каковы бы ни были попарно различные точки u1, u2, ..., um, если положить f(ui) = ui + 1, i = 1, 2, ..., m - 1 и f(u_m) = u1, то рассматриваемое отображение будет иметь периодическую траекторию периода m: u1, u2, ..., um, u1, u2, ..., um, ...

Если к тому же f(u) имеет первую производную, то в окрестности каждой из точек ui выполнено

\left|{f(u) - f(u_i)}\right|  \approx  \left|{f^{\prime}(u_i)}\right| \cdot \left|{u - u_i}\right|,

или

\left|{f(u) - u_{i + 1}}\right|  \approx  \left|{f^{\prime}(u_i)}\right| \cdot \left|{u - u_i}\right|.

Будем рассматривать fm(u) как сложную функцию. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим

\left|{f^{m} (u) - u_{i + 1}}\right|  \approx  \left|{\mathop \Pi\limits_{k = 1}^{m} f^{\prime}(u_k)}\right| \cdot \left|{u - u_i}\right|.

Если \left|{\mathop \Pi\limits_{k = 1}^{m} f^{\prime}(u_k)}\right| < 1, то траектория \{f_k (u_0 )\}_{k = 0}^\infty приближается к циклу {u1, ..., uk}, или \{u^{k}\}_{k = 1}^{m} . Такой цикл называется притягивающим циклом, а величина \left|{\mathop \Pi\limits_{k = 1}^{m} f^{\prime}(u_k)}\right| — мультипликатором цикла. Цикл может быть как притягивающим, так и отталкивающим.

Определение. Цикл Pm = {u1, ..., um} отображения f: X \rightarrow X, переводящего множество X в себя, называется притягивающим, если существует число k0, такое, что для любого k > k0 траектория \{f_k (u_0)\}_{k = 0}^\infty распадается на m последовательностей, каждая из которых сходится к точкам u1, ..., um соответственно.

Достаточным условием существования притягивающего (отталкивающего) цикла является выполнение неравенства \mu (P_{m}) > 1, где \mu (P_m) =  {\mathop \Pi\limits_{k = 1}^{m} f^{\prime}(u_k)}, u \in P_m — мультипликатор цикла.

Отметим интересные свойства функции f2(u), в частности, ее график пересекается с прямой y = u не только в неподвижных точках рассматриваемого отображения, u1, u2, но и в точках цикла P2. Таким образом, можно сказать, что бифуркация рождения цикла обусловлена потерей устойчивости одной предельной точки и появлением двух устойчивых предельных точек отображения f2(u). На рис. 5.6а, в показано поведение функции f2(u) при разных значениях параметра \lambda ( \lambda = 2, 8; \lambda = 1 
 + \sqrt{5} ).


Рис. 5.6.

При увеличении \lambda у отображения появляются новые неподвижные точки. Мультипликатор цикла P2 вычисляется следующим образом:

\mu (u_{3}, u_{4}) = f'(u_{3})f'(u_{4}) = \lambda ^{2} (1 - 2u_{3})(1 - 2u_{4}) = 4 + 2\lambda  + \lambda ^{2} .

Очевидно, что | \mu (u_{3}, u_{4}) | < 1, если 3 < \lambda  < 1 + \sqrt{6}, тогда цикл P2 — притягивающий. Траектория \{f_k(u_0 )\}_{k = 0}^\infty притягивается циклом {u3, u4} и подпоследовательность \{f^{2k} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty сходится к одной точке цикла, а \{f^{2k + 1} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty — к другой.

Знак мультипликатора дает информацию о характере приближения траектории к циклу. В частности, если 3 < \lambda  < 1 + \sqrt{5} , то подпоследовательности \{f^{2k} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty и \{f^{2k + 
1} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty, начиная с некоторого u, являются монотонными, одна из них возрастающая, а другая — убывающая, что зависит от знаков f'(u3) и f'(u4).

При 1 + \sqrt{5} < \lambda  \le 1 + \sqrt{6} значение мультипликатора \mu < 0, и подпоследовательности \{f^{2k} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty 
и \{f^{2k + 1} (u_0 )\}_{k = 0}^\infty приближаются к точкам {u3, u4} немонотонно.

Рассмотрим теперь случай 1 + \sqrt{6}  \le \lambda  < 3, 54 \ldots

При \lambda = 1 + \sqrt{6} происходит вторая бифуркация удвоения периода.

Цикл {u3, u4} из притягивающего превращается в отталкивающий, | \mu  (u_{3}, u_{4}) | > 1 при \lambda  > 1 + \sqrt{6} . Появляется новый притягивающий цикл P4:

\begin{gather*}
u_{4m}\rightarrow u_5, u_{4m + 1}\rightarrow u_6, u_{4m + 2}\rightarrow u_7, u_{4m + 3}\rightarrow u_8, \\
u_{6 } = f(u_{5}), u_{7 } = f(u_{6 }),  u_{8 } = f(u_{7 }), u_{5} = f(u_{8 }).
\end{gather*}

Для популяционной динамики это означает, что численность особей колеблется с периодом 4 единицы времени. Соответствующий график приведен на рис. 5.7.


Рис. 5.7.