Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

5.3. О вариационных подходах к решению нелинейных систем уравнений

Рассмотрим систему нелинейных уравнений f(u, v) = 0, g(u, v) = 0, {u, v} \in \Omega.

Рассмотрим функционал \Phi (u, v) = f^{2}(u, v) + g^{2}(u, v).

Так как \Phi неотрицателен, то найдется точка \left\{{\bar {u}, \bar {v}}\right\} такая, что \left\{{\bar {u}, \bar {v}}\right\} = \mathop {\arg }\limits_{u, v \in \Omega } \min \Phi (u, v), но min \Phi (u, v), очевидно, достигается при f(u, v) = 0, g(u, v) = 0, т.е. на решении исходной системы уравнений.

Построим итерационный процесс, соответствующий методу градиентного спуска

\left( \begin{array}{l}
   {u_{k + 1}}  \\ 
   {v_{k + 1}}   \\
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}
   {u_k}  \\ 
   {v_k}  \\  
\end{array} \right) - \tau_k \left( \begin{array}{l}
   {{\Phi}_u^{\prime}(u_k, v_k)}  \\ 
   {{\Phi}_v^{\prime}(u_k, v_k)}  \\
\end{array} \right),

где \tau _{k}параметр, который выбирается, например, из условия минимальности \Phi (u_{k + 1}, v_{k + 1}) в данном направлении (метод наискорейшего спуска), {pk, qk}вектор, определяющий направление минимизации. На каждом шаге итераций решается задача минимизации \Phi по одному аргументу.

5.4. Метод Чебышёва построения итерационных процессов высшего порядка

Предположим, что существует функция g(u), обратная к f(u). При этом u = g[f(u)], U = g(0). Пусть, кроме того, f(u) непрерывна и имеет необходимое число непрерывных производных на отрезке, внутри которого лежат все члены последовательности {uk}, k = 0, 1, ... Обратная функция имеет такое же количество непрерывных производных, как и f(u). Разложим функцию g(f[v]) = g(h) в ряд Тейлора в окрестности корня - точки w = f(u)

$ {g(h)}  \approx  g(w) + \sum\limits_{i = 1}^{n}{\frac{g^{(i)}(w)}{{i}!} (h - w)^{i}.  $

Тогда, учитывая, что u = g[f(u)], w = f(u), h = f(v), получим

$ g(0) = U  \approx  u + \sum\limits_{i = 1}^{n}{\frac{{g^{i}[f(u)]}}{{i!}}} [- f(u)]^{i} + \ldots.  $

Можно показать, что итерационный метод

$ u_{k + 1} = u_k + \sum\limits_{i = 1}^{n}(- 1)^{i}
\frac{g^{(i)} \left[{f(u_k)}\right]}{i!}[f(u_k)]} ^{i}, u^0 = a  $

имеет порядок сходимости n + 1. Для вычисления производных обратной функции u = g[f(u)] воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

\begin{gather*}
1 = g^{(1)} [f(u)] \cdot f^{(1)} (u), \\  
0 = g^{(2)} [f(u)] \cdot [f^{(1)} (u)]^2 + g^{(1)} [f(u)]\cdot f_{(u)}^{(2)}, \\  
0 = g^{(3)} [f(u)] \cdot [f_{(u)}^{(1)} ]^3 + 3g^{(2)} [f(u)]\cdot f_{(u)}^{(2)} \cdot f_{(u)}^{(1)} + g^{(1)} [f(u)]\cdot f_{(u)}^{(3)}, \\  
\ldots
\end{gather*}

5.5. Разностные отображения в нелинейной динамике

Рассмотрим последовательность чисел u_{k + 1}  \in R ( R — множество вещественных чисел), каждый член которой связан с предыдущим рекуррентным соотношением

u_{{k + 1}} = f(u_k, u_{{k - 1}}, \ldots , u_{1}, k), ( 5.4)

где k \in N ( N — множество натуральных чисел). Соотношения (5.4) называются разностными отображениями (уравнениями) с дискретным аргументом.

Такие уравнения появляются при моделировании процессов, в которых величина u рассматривается через определенные промежутки времени. Например, еще в середине XIX века Ферхюльст для описания динамики популяционной системы предложил измерять ежегодно численность особей uk, где k — номер года. Относительная численность uk + 1 полагалась пропорциональной численности в k год, однако она начинает убывать, когда животных становится много ( uk сравнимо с 1):

u_{k + 1} = f(u_k), ( 5.5)

где

f(u_k) = \lambda u_k(1 - u_k), u_0 = a. ( 5.6)

Другой пример из экономической области — задача о банковских сбережениях. Пусть u0 — денежный вклад, растущий в соответствии с постоянным процентом \delta, по закону:

u_{k + 1} = (1 + \delta )u_k = \ldots = (1 + \delta )^{k}u_0.

Пусть далее законодательный орган, желая воспрепятствовать такому обогащению вкладчика, издает закон о том, чтобы процент убывал пропорционально uk, т.е.

\delta_k = \delta_0 \left({1 - \frac{u_k}{u_{\max }}}\right).