Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

5.7. Задачи для самостоятельного решения

  1. Исследовать возможность применения трех итерационных процессов

    \begin{gather*}
x_{k + 1} = - e^{- x_k}, \\  
 x_{k + 1} = - \ln x_k, \\  
x_{k + 1} = \frac{1}{2}(x_k + e^{- x_k}). 
\end{gather*}

    для численного решения уравнения x + ln x = 0, имеющего корень \bar {x}  \approx  0, 6.

  2. Исследовать сходимость процесса простой итерации в зависимости от начального приближения для численного решения уравнения
    x - 2x - 1 = 0,

    имеющего корни x1 = 1, x2 = 2.

  3. Предложить процессы простых итераций для решения уравнений

    \begin{gather*}
x - \frac{\cos x}{2} = 0, \\  
 x = \ln (x + 2)\quad \mbox{(уравнение имеет два корня), } \\  
 e^{- x} = \cos x \quad \mbox{(для поиска ближайшего к нулю корня). } 
\end{gather*}

  4. Предложить итерационный процесс Ньютона для вычисления решений систем уравнений

    \left\{ \begin{array}{l}
   {x^{10} + y^{10} = 1024, }  \\
   {e^{x} - e^{y} = 1.}  \\
\end{array} \right.

    \left\{ \begin{array}{l}
   {\sin (x + 1) - y = 1, 2, }  \\
   {2x + \cos y = 2.}  \\
\end{array} \right.

  5. Предложить методы простых итераций и Ньютона для численного решения нелинейных уравнений:

    \begin{gather*}
 e^{x} - \frac{1}{x} = 0, \\  
 x^2 - 20\sin x = 0, \\  
- x 2^{x} - 1 = 0, \\  
 \sqrt{x + 1} - \frac{1}{x} = 0, \\  
 \arctg (x - 1) + 2x = 0. 
\end{gather*}

  6. С помощью методов дихотомии и Ньютона найти точку локального минимума функции f(t) = e^{- t} + t^3 - t, с точностью \varepsilon = 
10^{- 6}.$