Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

Теперь рассмотрим случай 1 < \lambda  < 3.

В случае, когда \lambda  > 1неподвижная точка, u = 0 становится отталкивающей, поскольку | f'(0) | > 1, а на отрезке [0, 1] появляется другая неподвижная точка u_{1} = 1 - \lambda ^{ - 1}.

Производная для рассматриваемого отображения | f'(u_{1}) | = | 2  -  \lambda  | < 1. Точка u1 при 1 < \lambda \le 3 является притягивающей.

Отметим, что при 1 < \lambda \le 2 производная f'(u1) > 0 и траектория \left\{f^{k} (u_0 ) \right\}_{k = 1}^\infty стремится монотонно к u1 ( рис. 5.4); при 2 < \lambda \le 3 производная f'(u1) < 0 и траектория приближается к u1 немонотонно, поочередно принимая значения то меньше, то больше этого значения.


Рис. 5.4.

При \lambda  = 3 точка u1 остается притягивающей, но значение производной в этой точке является предельным: | f'(u1) | = 1.

При значениях параметра логистического отображения \lambda  = 1 и \lambda  = 3 неподвижная точка этого отображения теряет устойчивость и появляется либо другая устойчивая неподвижная точка, как это произошло в первом случае, либо притягивающий цикл ; определение цикла будет дано ниже. Качественное изменение поведения решения (траектории отображения) при изменении параметра называется бифуркацией.

Пусть теперь 3 < \lambda  \le 1 + \sqrt{6} . Как уже отмечалось, при значении параметра \lambda  = 3 происходит бифуркация: неподвижная точка u_{2}= 1 - \lambda ^{ - 1} из притягивающей превращается в отталкивающую: | f'(u) | > 1 при \lambda  > 3. После того как точка стала отталкивающей, рассмотрим корни u3, u4 уравнения f2(u) = u, или \lambda ^{2}u^{2} - \lambda (\lambda  + 1)u + (\lambda  + 1) = 0.

Заметим, что если u1 — предельная точка отображения f(u) = u, то она является также и предельной точкой отображения f2(u) = u. Действительно, f2(u1) = f(f(u1)) = f(u1) = u1, где u1 — любая предельная точка рассматриваемого отображения, отличная от корней уравнения f2(u) = u. Тогда, зная два корня уравнения f2(u) = u точки u3, u4 легко находятся как корни квадратного уравнения, они есть

$ u_{3, 4} = \frac{{\left({\lambda + 1}\right)  \pm  \sqrt {2\lambda - 3\lambda ^2 - 3}}}{{2\lambda }}.  $

Эти корни связаны соотношениями

f(u3) = u4, f(u4) = u3.

В данном случае говорят, что отображение имеет цикл периода 2, который будем обозначать P2. Его наличие, например, в популяционной модели говорит об изменении численности особей с периодом в 2 единицы времени. Траектория для случая такого цикла изображена на рис. 5.5. Можно считать, что неподвижная (предельная) точка отображения есть цикл периода 1.

Переход от цикла P1 (предельная точка логистического отображения) к циклу P2 называют бифуркацией рождения цикла (удвоения периода) .


Рис. 5.5.