Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3790 / 1086 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

Тогда счет в банке изменился бы по закону

$ 
u_{k + 1} = \left[{1 + \delta_0 \left({1 - \frac{u_k}{u_{\max }}}\right)}\right]u_k , 
  $ ( 5.7)

т.е. в соответствии с моделью (5.6).

Так как u_k  \in [0, 1], то \lambda  \in [0, 4]. Отображение (5.6) называется логистическим. К нему можно также придти, применив простейший из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений — явный метод Эйлера ( "Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений" ) для решения дифференциального уравнения динамики популяции (уравнения Ферхюльста)

$ \dot {u} = \lambda u(1 - u), u(0) = a $ ( 5.8)

где u — численность популяции. Вводя шаг по времени, получим разностный аналог уравнения (5.8):

$ 
{\frac{u_{k + 1} - u_k}{\tau } = \lambda u_k (1 - u_k), u_0 = a}, 
  $ ( 5.9)

откуда получаем

\begin{gather*}
u_{k + 1} = \alpha u_k - \beta u_k^2, \\
\alpha = \lambda \tau + 1, \quad \beta = \lambda \tau . \end{gather*} ( 5.10)

И отображение (5.7), и отображение (5.10) легко приводится к виду (5.6). Достаточно произвести очевидную замену переменных. Для (5.10) эта замена будет

$ \mu = \alpha , z_k = \frac{\alpha }{\beta }u_k  $.
Как двумерное обобщение логистического отображения можно рассматривать отображение Хенона

{u_{k + 1} = 1 - \alpha u_k^2 + y_k , \quad y_{k + 1} = \beta u_k, \quad \left|\beta\right| \le 1, } ( 5.11)

или

u_{k + 1} = 1 - \alpha u_k^2 + \beta u_{k - 1}. ( 5.12)

К довольно известным двумерным дискретным моделям относится также отображение Чирикова, предложенное для моделирования поведения незатухающего ротатора, возбуждаемого внешними толчками:

u_{k + 1} = u_k - \alpha \sin y_k , y_{k + 1} = y_k + u_{k + 1}. ( 5.13)

Рассмотрим подробнее свойства отображения:

u_{k + 1} = \lambda u_{k}(1 - u_{k}), u_{0} = a.

Заметим, что f(0) = f(1) = 0 и max f(u) = f(0, 5) = \lambda  / 4, то при 0 < \lambda  < 4 интервал X = [0, 1] отображается в себя, u \in X.

Введем обозначения

f^2 = f(f(u)), f^3 = f(f(f(u))), f^{k} = \underbrace{f(f \ldots f(u) \ldots )}_k.

Последовательность f, f2, ..., fk, ... называется траекторией отображения и обозначается \left\{f^{k}(u_0) \right\}_0^\infty.

Определение. Точка a \in X ( X — множество, включающее в себя все значения отображения (5.4)) называется предельной точкой траектории \left\{f^{k} (u_0 ) \right\}_{k = 0}^\infty, если существует последовательность k_1  < k_2  < ... < k_n \mathop  \to\limits_{n \to \infty } \infty такая, что f^{k_n} \to a, n = 1, 2, \ldots.

Рассмотрим вначале случай 0 < \lambda  < 1. На X = [0, 1] существует только одна предельная (или неподвижная) точка x = 0. Любая последовательность, \left\{f^{k} (u_0 ) \right \}_{k = 0}^\infty сходится к предельной точке рассматриваемого отображения x = 0. Если рассматривается популяционная модель, то это означает, что рассматриваемая популяция не может выжить.

Из теоремы о сжимающем отображении следует, что последовательность \left\{{u_k}\right\}_{n = 0}^\infty сходится к своей предельной точке, если \left|{f^{\prime}_u}\right| \le 1.

В этом случае точка называется притягивающей. При выполнении условия | f'u | > 1 точка называется отталкивающей.

Графическое изображение траектории (лесенка Ламерея) представлено на рис. 5.3.


Рис. 5.3.