Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 4950 / 511 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 5:

Поле C комплексных чисел

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >
Аннотация: В данной лекции множество комплексных чисел. Приводится определение комплексного числа, примеры основных операций с комплексными числами, рассмотрена тригонометрическая форма записи комплексного числа. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения

Понятие числа является одним из основных понятий в математических теориях. К основным числовым системам принадлежат:

  • натуральные числа N (полукольцо);
  • натуральные числа с нулем N_0= N\cup\{0\} (полукольцо с нулем);
  • целые числа Z (кольцо);
  • рациональные числа Q (поле);
  • действительные числа R (поле).

При этом

N\subset N_0\subset Z\subset Q\subset R.
Отметим, что рациональные числа Q и действительные числа R с операциями сложения и умножения являются полями . Напомним, что множество K с операциями сложения и умножения, (K,+,\cdot), называется полем, если:

  1. операция сложения

    • коммутативна ( a+b=b+a \kvsp \forall a,b \in K );
    • ассоциативна ( (a+b)+c=a+(b+c) \kvsp \forall a,b,c \in K );
    • существует нейтральный элемент 0 ( 0+a=a \kvsp \forall a \in K );
    • \forall a \in K существует противоположный элемент -a ( a+(-a)=0 )

    (кратко, (K, +) - коммутативная группа);

  2. операция умножения

    • коммутативна ( ab=ba \kvsp \forall a,b \in K );
    • ассоциативна ( (ab)c=a(bc) \kvsp \forall a,b,c \in K );
    • существует нейтральный элемент 1 ( 1a=a \kvsp \forall a \in K ), 1\neq 0

    (кратко, (K, \cdot) - коммутативный моноид);

  3. имеет место дистрибутивность, связывающая операции сложения и умножения ( (a+b)c=ac+bc \kvsp \forall a,b,c \in K ).

    Условия 1), 2), 3) определяют коммутативное кольцо.

  4. Имеет место обратимость ненулевых элементов ( \forall a \in K,\ a\neq 0, \kvsp \exists b \in K \kvsp ab=1 ).

Поле действительных чисел R, при всех его достоинствах, не является алгебраически замкнутым полем (т. е. многочлены с действительными коэффициентами могут не иметь действительных корней: например, многочлен x2+1 не имеет действительного корня). Нашей целью является построение расширения C поля действительных чисел R, R\subset C, в котором есть такой элемент i\in C, что i2=-1 (уравнение x2+1=0 имеет решение), при этом в некотором смысле это минимальное расширение с этим свойством. Построенное поле C окажется алгебраически замкнутым (алгебраическим замыканием поля R ).

Анализ ситуации

Допустим, что существует поле K, содержащее в качестве подполя поле действительных чисел, R\subset K, и элемент i\in K такой, что i2=-1. Тогда:

  1. для a,b,c,d\in R равенство a+bi=c+di выполнено тогда и только тогда, когда a=b, c=d

    Доказательство. Если a+bi=c+di, то a-c=(d-b)i, поэтому (a-c)2=-(d-b)2, следовательно, (a-c)2=0=(d-b)2, т. е. a=c, b=d.

  2. подмножество D всех элементов a+bi, a,b\in R, замкнуто относительно операции сложения (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, 0=0+0i\in D является в D нейтральным элементом, -(a+bi)=(-a)+(-b)i - противоположный элемент для a+bi. Итак, D относительно сложения - коммутативная группа.
  3. подмножество D замкнуто относительно умножения (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
  4. (a+bi)(a-bi)=a2+b2.
  5. если a+bi\neq 0, то a2+b2>0, и
    (a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)= \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1,
    следовательно,
    (a+bi)^{-1}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i
    для a+bi\neq 0. Итак, D является подполем поля K, R\subset D, i\in D, D - наименьшее подполе в K, содержащее R и i.
< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >
Надие Якубова
Надие Якубова
Ксения Голубова
Ксения Голубова
Владимир Калашников
Владимир Калашников
Россия, Москва, ВШЭ