Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5061 / 527 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 8:

Cтупенчатые системы линейных уравнений и метод Гаусса

< Лекция 7 || Лекция 8: 12 || Лекция 9 >
Аннотация: В данной лекции проводится исследование ступенчатых систем линейных уравнений. Приводится понятие ступенчатой системы, а также решения характерных задач. Также рассматриваются некоторые следствия из метода Гаусса. Доказаны основные теоремы и приведены задачи для самостоятельного решения

Исследование ступенчатых систем линейных уравнений

Лемма 3.6.1. Однородная система линейных уравнений всегда совместна.

Доказательство. Решением системы является нулевая строчка (0,...,0) \in  K^n.

Лемма 3.6.2. Если система линейных уравнений содержит уравнение

0x_1+...+0x_n=b \ne 0
(назовем его "экзотическим" уравнением), то система несовместна.

Доказательство. Для любой строчки (k_1,...,k_n)\in K^n 0\cdot k_1+...\+0\cdot k_n=0 \ne b.

Замечание 3.6.3. Если матрица коэффициентов системы линейных уравнений нулевая (т. е. все коэффициенты равны нулю), то ее совместность равносильна тому, что все свободные члены нулевые (при этом X=Kn ).

По ненулевой ступенчатой матрице переменные x1,...,xn разобьем на две группы: главные {x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_r}}, "проходящие" через уголки ступенек (их r штук), и свободные - все остальные n-r переменных (их может и не быть совсем при r=n ).

Замечание 3.6.4. Если в ступенчатой системе линейных уравнений нет "экзотических" уравнений (т. е. если r=m или r<m и \bar{b}_{r+1}=...=\bar{b}_m=0 ), то для любого набора значений для свободных неизвестных существует (и единственный) набор значений для главных неизвестных и эти наборы дают в совокупности решение системы линейных уравнений.

Доказательство. Так как значения для свободных неизвестных заданы, то, рассматривая r -е уравнение и перенося в правую часть уравнения члены со значениями свободных неизвестных, расположенных правее места (r,t) (если они есть), получаем уравнение (см. (3.2))

\bar{a}_{rt}x_t=c_r,\quad c_r\in K,\ \ 0\ne \bar{a}_{rt} \in K,
имеющее единственное решение для главного неизвестного
x_t=c_r\bar{a}_{rt}^{-1}.
Поднимаясь в (r-1) -е уравнение, повторяем этот же прием и однозначно определяем значение главного неизвестного в "уголке" (r-1) -го уравнения. Продолжая процесс, доходим до 1 -го уравнения и определяем однозначно значение для первой главной переменной xi1 (в (3.2) i1=1 ). Тем самым заданные значения свободных неизвестных оказались однозначно дополнены найденными значениями главных до решения системы линейных уравнений.

Теорема 3.6.5 (критерий совместности системы линейных уравнений по ее ступенчатому виду).

  1. Система линейных уравнений (aij|bi) из m уравнений с неизвестными x1,...,xn совместна тогда и только тогда, когда в ее ступенчатом виде нет "экзотических" уравнений (т. е. или r=m, или r<m и \bar{b}_{r+1}=...=\bar{b}_m=0 ).
  2. Для совместной системы свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, при этом главные неизвестные однозначно определяются (при заданных значениях свободных неизвестных), тем самым мы получаем все решения системы линейных уравнений.

Доказательство. Отметим, что исходная система и ее ступенчатая системы эквивалентны.

1) а) Ясно, что совместная система не может содержать "экзотическое" уравнение (лемма 3.6.2). Таким образом, при первом появлении "экзотического" уравнения в методе Гаусса процесс надо остановить: система несовместна.

б) Если в ступенчатом виде нет "экзотических" уравнений, то утверждение следует из леммы 3.6.4.

2) Алгоритм нахождения всех решений в случае отсутствия "экзотических" уравнений рассмотрен в лемме 3.6.4.

Следствие 3.6.6. Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда в ее ступенчатом виде найдется "экзотическое" уравнение.

Теорема 3.6.7 (критерий определенности системы линейных уравнений по ее ступенчатому виду). Система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда в ее ступенчатом виде:

  1. нет "экзотических" уравнений(критерий совместности);
  2. r=n (т. е. все неизвестные главные, другим словами - отсутствуют свободные неизвестные).

Доказательство.

  1. При условии совместности, если r<n, т. е. имеется хотя бы одно свободное неизвестное, то ему можно придать как минимум два различных значения из поля K. После дополнения значений свободных переменных значениями главных переменных до решения системы мы получаем заведомо два различных решения системы, т. е. |X|>1, система является неопределенной.
  2. Если же при условии совместности r=n, т. е. нет свободных неизвестных, то главные неизвестные определяются в методе Гаусса однозначно (через свободные члены системы), таким образом, система линейных уравнений является определенной.

Упражнение 3.6.8. Процесс приведения к ступенчатому виду можно продолжить на расширенную матрицу системы (aij|bi). Покажите, что система совместна тогда и только тогда, когда ступенчатый вид расширенной матрицы системы (aijbi) содержит столько же ненулевых строк, сколько и ступенчатый вид матрицы (aij) (все лидеры строк ступенчатого вида расширенной матрицы находятся среди столбцов матрицы коэффициентов (aij) ).

Замечание 3.6.9. Любая ненулевая матрица A \in  \mM_{m,n}(K) с помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типа может быть приведена к главному ступенчатому виду. Действительно, вначале приведем матрицу A к ступенчатому виду. С помощью элементарных преобразований 3-го типа сделаем все лидеры ненулевых строк a_{1l_1},a_{2l_2},...,a_{rl_r}, 1 \leq l_1<l_2<...<l_r \leq n, равными единице. После этого, применяя элементарные преобразования строк 1-го типа, добьемся того, что в lr -м столбце единственный ненулевой элемент - это a_{rl_r}=1, затем аналогично добьемся с использованием элементарных преобразований строк 1-го типа того, что единственный ненулевой элемент в lr-1 -м столбце - это a_{r-1,l_{r-1}}=1,..., в l1 -м столбце - это a_{1l_1}=1 (эта процедура часто называется обратным ходом метода Гаусса). Таким образом, мы привели матрицу A к главному ступенчатому виду. Позже (см. 9.5.1) будет доказано, что главный ступенчатый вид матрицы определен однозначно.

Если совместная система линейных уравнений (в частности, однородная система) приведена к главному ступенчатому виду, то мы сразу (без последовательной подстановки уже полученных выражений в предыдущие уравнения) получаем единственное выражение главных неизвестных через свободные: l -е уравнение ( 1 \leq l \leq r ) главного ступенчатого вида имеет вид

x_{j_l}+\sum\limits_{\substack{s=j_l+1\\ s\neq
j_{l+1},...,j_r}}^{n}
a_{ls}x_s=\tilde b_l\in K,
и поэтому
\begin{equation}\label{ep4}
x_{j_l}=\tilde b_l-
\sum\limits_{\substack{s=j_l+1\\ s\neq j_{l+1},...,j_r}}^{n}
a_{ls}x_s
\end{equation}
(для однородной системы \tilde b_l=0 ), в правой части присутствуют лишь свободные переменные. Таким образом, главный ступенчатый вид однородной системы равносилен (с заменой знака) выражению главных неизвестных через свободные (по этому ступенчатому виду).

В частном случае, при r=n, главный ступенчатый вид определенной системы линейных уравнений имеет форму

\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & &
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0}}} & \tilde b_1
\\ & \ddots & & \vdots
\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0}}}
& & 1 & \tilde b_n
\\
\hline
0 & ... & \multicolumn{1}{c}{...} & 0
\\
0 & ... & \multicolumn{1}{c}{...} & 0
\end{array}
\right),
где (\tilde b_1,...,\tilde b_n) - единственное решение.

< Лекция 7 || Лекция 8: 12 || Лекция 9 >
Надие Якубова
Надие Якубова
Ксения Голубова
Ксения Голубова