Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5061 / 527 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 10:

Подстановки, перестановки

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234
Аннотация: В данной лекции рассматриваются подстановки и перестановки. Приведены основные определения, рассмотрена транспозиция, разложение подстановок в произведение циклов с непересекающимися орбитами. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения

Подстановки, перестановки

Теорема 5.0.4. Множество S(U) всех биекций

f: U\to U
с операцией произведения (композиции) отображений gf для U\xrightarrow{f} U \xrightarrow{g} U, f,g\in S(U), обладает следующими свойствами:

  1. операция произведения ассоциативна ( h(gf)=(hg)f для всех f,g,h\in S(U) ),
  2. нейтральным элементом для этой операции является тождественное отображение 1U ( 1Uf=f=f1U для всех f\in S(U) ),
  3. для всякой биекции f: U\to U существует обратный элемент - биекция g=f-1 ( fg=1U=gf ).

(Другими словами, S(U) - группа относительно операции произведения отображений; S(U) - подгруппа моноида T(U): S(U)\subseteq \mT(U).)

Доказательство. следует из теоремы 1.6.4 и леммы 1.8.4.

Биекции f: U\to U множества U часто называются подстановками . Наиболее важный для нас случай U={1,2,...,n}, в этом случае группу Sn = S({1,2,...,n}) называют группой подстановок множества {1,2,...,n} из n элементов (иногда называемой симметрической группой).

Запись подстановок. Перестановки

Если f\in S_n - подстановка, то рассмотрим ее каноническую запись

\begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n\\ f(1) & f(2) & ... & f(n) \end{pmatrix}.
В нижней строчке (f(1), f(2),..., f(n)), поскольку f - биекция, встречаются все элементы i, 1 \leq i \leq n, при этом только по одному разу. Такие строчки элементов (i1,...,in), 1 \leq i_j \leq n, где каждый элемент i_j, 1 \leq i_j \leq n, встречается один и только один раз, называются перестановками элементов 1,2,...,n .

Лемма 5.1.1. Число всех перестановок (i1,...,in) из n элементов равно n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n.

Доказательство. Для i1 имеем n возможностей. При выбранном i1 для i2 имеем (n-1) возможность. Таким образом, число различных перестановок равно n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot 2\cdot 1 = n!.

Лемма 5.1.2. Число различных подстановок множества {1,2,...,n} равно n! (т. е. | S_n|=n!).

Доказательство. Для f\in S_n рассмотрим каноническую запись

f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n\\ f(1) & f(2) & ... & f(n) \end{pmatrix}.
Таким образом, различных подстановок столько же, сколько различных перестановок n элементов, т. е. n!.

Во многих случаях удобно рассматривать записи подстановки f\in S_n, располагая в верхней строчке произвольную перестановку (i1,i2,...,in):

f = \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & ... & i_n\\ f(i_1) & f(i_2) & ... & f(i_n) \end{pmatrix}.
Каждый столбец этой таблицы имеет вид
\begin{pmatrix} i\\ f(i) \end{pmatrix}.

Пример 5.1.3

  1. Для тождественной подстановки в S2 имеем
    f =
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
1 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
2 & 1
\end{pmatrix}.
    Для биекции f: \{1,2\}\to \{1,2\}, f(1)=2, f(2)=1, имеем
    f = \begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}.
  2. Если
    f=\begin{pmatrix}
i_1 & ... & i_n\\
j_1 & ... & j_n
\end{pmatrix} \in  S_n,
    то
    f^{-1}=\begin{pmatrix}
j_1 & ... & j_n\\
i_1 & ... & i_n
\end{pmatrix}.
  3. Так как (\sigma\tau)(i)=\sigma(\tau(i)), то
    \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}.
    В частности,
    \begin{pmatrix}
i_1 & i_2 & ... & i_n\\
j_1 & j_2 & ... & j_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & ... & n\\
i_1 & i_2 & ... & i_n
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & ... & n\\
j_1 & j_2 & ... & j_n
\end{pmatrix}.
  4. Обозначим через (i1 i2... ir) цикл длины r в группе подстановок Sn: подстановку, переводящую ik в ik+1 для 1 \leq k \leq r-1, ir в i1, и оставляющую все элементы из {1,2,...,n}, отличные от i1,...,ir, на месте. Тогда в S3 имеем шесть подстановок:
    \begin{alignat*}{2}
e&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}; &\qquad
(1\quad 2) &=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix};
\\
(1\quad 3) &=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}; & (2\quad 3) &=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix};
\\
(1\quad 2\quad 3)&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}; & (1\quad 3\quad 2)&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
\end{alignat*}
    При этом в Sn для n \geq 3 имеем
    (1\quad 2)(1\quad 3) = (1\quad 3\quad 2) \neq (1\quad 2\quad 3) = (1\quad 3)(1\quad 2),
    следовательно, группа S3 и любая группа Sn при n \geq 3 некоммутативны. Так как S1={e} и S2={e, (1 2)} - коммутативные группы, то получаем, что группа Sn коммутативна тогда и только тогда, когда n=1 или n=2.
< Лекция 9 || Лекция 10: 1234
Надие Якубова
Надие Якубова
Ксения Голубова
Ксения Голубова