Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5061 / 527 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 1:

Основные алгебраические структуры и операции

Лекция 1: 12345 || Лекция 2 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия алгебраических операций. Приведены определения понятий группоид, моноид, полугруппа, свойства отображений и понятие ассоциативных операций. Доказаны основные теоремы, приведены решения задач и упражнения для самостоятельного решения

В этой лекции мы представим вниманию читателя основные алгебраические структуры, с которыми мы встретимся при изложении курса и при решении задач. Детальное знакомство с ними будет происходить по мере нашего продвижения и накопления фактического материала. Преимущество работы с абстрактными математическими понятиями может быть оценено лишь при необходимости рассматривать многочисленные частные примеры.

Предмет алгебры существенно менялся с течением времени: арифметические действия над натуральными и положительными рациональными числами в глубокой древности (3 век н. э.); алгебраические уравнения первой и второй степени (9 век); появление алгебраической символики (15 - 17 века); к 18-му веку алгебра сложилась в том объеме, который сейчас принято называть "элементарной алгеброй"; в 18-19 веках алгебра - это прежде всего алгебра многочленов; с середины 19-го века центр тяжести алгебраических исследований перемещается на изучение произвольных алгебраических операций. Изучение алгебраических структур (т. е. множеств с определенными на них операциями) было подготовлено развитием числовых систем (построением комплексных чисел и кватернионов), созданием матричного исчисления, возникновением булевой алгебры, внешней алгебры Грассмана, исследованием групп подстановок. Таким образом,к 20-му веку сформировалась точка зрения на современную алгебру как на общую теорию алгебраических операций (под влиянием работ Д. Гильберта, Э. Артина, Э. Нетер и с выходом в 1930 г. монографии Б. Л. ван дер Вардена "Современная алгебра").

Алгебраические операции

Если M - непустое множество, n - натуральное число, то через Mn обозначим множество упорядоченных последовательностей (m1,m2,...,mn), m_i\in M, 1\le i\le n. Под n -арной алгебраической операцией на множестве M понимается отображение

\omega : M^n\to M,
число n называется арностью алгебраической операции \omega. Исторически сначала возникли бинарные операции ( n=2 ) и унарные операции ( n=1 ). Нульарные операции - это фиксированные элементы множества M, поскольку под M(0) понимается одноэлементное множество.

Группоиды, полугруппы, моноиды

Непустое множество M с бинарной операцией \omega :M\times M\to M называется группоидом. Иногда нам удобнее использовать обозначение

m_1\mathbin{\omega} m_2=\omega((m_1,m_2)),\quad
m_1,m_2\in M.
Бинарная операция \omega : M\times M\to M называется ассоциативной, если (m_1\mathbin{\omega} m_2)\mathbin{\omega} m_3=
m_1\mathbin{\omega} (m_2 \mathbin{\omega} m_3)
\ \ \text{для всех}\ \ m_1,m_2,m_3\in M, и коммутативной, если m_1\mathbin{\omega} m_2=
m_2\mathbin{\omega} m_1
\ \ \text{для всех}\ \
m_1,m_2\in M.

Упражнение 1.2.1.

  1. Бинарная операция разность целых чисел {-}: Z \times Z \to Z,\quad
(m_1,m_2)\mapsto m_1-m_2
, не является ассоциативной и не является коммутативной.
  2. Следующие бинарные операции ассоциативны и коммутативны:

    2.1) {+}: N \times N \to N, \quad (m_1,m_2)\mapsto m_1+m_2 (сложение натуральных чисел); {\cdot}: N \times N \to N,\quad (m_1,m_2)\mapsto m_1m_2 (умножение натуральных чисел);

    2.2) пусть P(M) - множество всех подмножеств (включая пустое) множества M, {\cap}: \mathcal P(M)\times\mathcal P(M)\to \mathcal P(M),\quad (A,B)\mapsto A\cap B (пересечение подмножеств); {\cup}: \mathcal P(M)\times\mathcal P(M)\to \mathcal P(M),\quad (A,B)\mapsto A\cup B (объединение подмножеств); {*}: \mathcal P(M)\times\mathcal P(M)\to \mathcal P(M),\\
(A,B)\mapsto A*B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)
(симметрическая разность подмножеств).

  3. Пусть T(M)=M^M=\{f: M\to M\} - совокупность всех отображений из множества M в множество M,
    {\circ}: M^M\times M^M\to M^M,\quad (f,g)\mapsto f\circ g,
    где (f\circ g)(m)=f(g(m)) для m\in M (композиция отображений). Тогда \circ - ассоциативная операция (она является коммутативной тогда и только тогда, когда |M|=1, т. е. M - одноэлементное множество), подробнее см. задачу 1.7.1.
  4. Бинарная операция N \times N \to N,\quad (m,n)\mapsto m^n (возведение в степень) неассоциативна и некоммутативна; бинарная операция \omega: N \times N \to N,\quad (m,n)\mapsto m^n+n^m коммутативна, но не является ассоциативной ( (1\mathbin{\omega}2)\mathbin{\omega} 3\ne 1\mathbin{\omega} (2\mathbin{\omega}3) ).
  5. Если (M,\omega) - группоид с бинарной операцией \omega: M\times M\to M, то подмножество L\subseteq M, для которого l_1\mathbin{\omega}l_2\in L \ \ \text{для всех}\ \ l_1,l_2\in L (замкнутое относительно операции \omega ), является группоидом, \omega|_{L\times L}: L\times L\to L,\quad (l_1,l_2)\mapsto l_1\mathbin{\omega}l_2, называемым подгруппоидом. Например:
    1. (N,+) - подгруппоид в группоиде (Z,+) (здесь Z - целые числа);
    2. подмножество Z\{0} не является замкнутым в группоиде (Z,+) относительно операции сложения.

Пусть (M_1,\omega_1) и (M_2,\omega_2) - группоиды. Отображение

f: M_1\to M_2
называется гомоморфизмом группоидов , если
f(x\mathbin{\omega_1}y)=f(x)\mathbin{\omega_2}f(y)\ \ \text{для всех}\ \ x,y\in M_1.
Биективный гомоморфизм группоидов называется изоморфизмом группоидов ( в случае его наличия группоиды (M_1,\omega_1) и (M_2,\omega_2) называются изоморфными ; обозначение M_1\cong M_2 ).

Лемма 1.2.2.

  1. Пусть f1 и f2, где (M_1,\omega_1) \stackrel{f_1}{\longrightarrow}
(M_2,\omega_2) \stackrel{f_2}{\longrightarrow}
(M_3,\omega_3), являются гомоморфизмами группоидов. Тогда их произведение f2f1, f_2f_1: (M_1,\omega_1)\to (M_3,\omega_3),\quad
(f_2f_1)(m_1)=f_2(f_1(m_1)), также является гомоморфизмом группоидов.
  2. Пусть f: (M_1,\omega_1)\to (M_2,\omega_2) - изоморфизм группоидов, тогда обратное отображение f^{-1}: (M_2,\omega_2)\to (M_1,\omega_1)
также является изоморфизмом группоидов.

Доказательство.

  1. Для любых x,y\in M_1 имеем (f_2f_1)(x\mathbin{\omega_1}y)=
f_2(f_1(x\mathbin{\omega_1}y))=
f_2(f_1(x)\mathbin{\omega_2}f_1(y))={}
\\
{}=
f_2(f_1(x))\mathbin{\omega_3}f_2(f_1(y))=
(f_2f_1)(x)\mathbin{\omega_3}(f_2f_1)(y).
  2. Пусть z,w\in M_2, z=f(x), w=f(y), где x=f^{-1}(z),\allowbreak y=f^{-1}(w)\in  M_1. Тогда f^{-1}(z\mathbin{\omega_2}w)=
f^{-1}(f(x)\mathbin{\omega_2}f(y))=
f^{-1}(f(x\mathbin{\omega_1}y))={}
\\
{}=x\mathbin{\omega_1}y=f^{-1}(z)\mathbin{\omega_1}f^{-1}(w).

Следствие 1.2.3. Отношение "быть изоморфными" является отношением эквивалентности на классе группоидов: (M,\omega)\pcong (M,\omega) ; если (M_1,\omega_1)\pcong (M_2,\omega_2), то (M_2,\omega_2)\pcong (M_1,\omega_1) ; если (M_1,\omega_1)\pcong (M_2,\omega_2) и (M_2,\omega_2)\pcong (M_3,\omega_3), то (M_1,\omega_1)\pcong (M_3,\omega_3).

Упражнение 1.2.4.

  1. Тождественное отображение 1_M: M\to M,\quad 1_M(m)=m, является изоморфизмом 1_M: (M,\omega)\to (M,\omega) группоидов.
  2. Отображения \begin{alignat*}{2} & f: (N,+)\to (N,\cdot), &\quad &
f(n)=2^n,
\\ & f_k: (N,+)\to (N,+), && f_k(n)=kn,\ \ k\in N ,
\end{alignat*} являются гомоморфизмами группоидов (но отображение f_k\: (N,\cdot)\to (N,\cdot),\quad f_k(n)=kn,\ \ k\ne 1, не является гомоморфизмом группоидов).

Пусть (M,\omega) - группоид, элемент e\in M называется (двусторонним) нейтральным элементом, если e\mathbin{\omega}m=m=m\mathbin{\omega}e \ \ \text{для всех}\ \ m\in M.

Упражнение 1.2.5. Следующие элементы являются нейтральными:

  1. 0 в (N\cup\{0\},+), (Z,+), (Q,+), (R,+) ;
  2. 1 в (N,\cdot), (Z,\cdot), (Q,\cdot), (R,\cdot) ;
  3. 1M в (M^M,\circ) ;
  4. M в (\mathcal P(M),\cap) ;
  5. \emptyset в (\mathcal P(M),\cup) и в (\mathcal P(M),*) ;
  6. в (N,+) нет нейтральных элементов (в России N=\{1,2,...\} ).

Лемма 1.2.6. Пусть (M,\omega) - группоид, e и e' - нейтральные элементы. Тогда e=e' (другими словами, если в группоиде существует нейтральный элемент, то он единственный).

Доказательство. e=e\mathbin{\omega}e'=e'.

Замечание 1.2.7. В мультипликативных обозначениях операции \omega в моноиде, m_1\mathbin{\omega}m_2=m_1m_2, нейтральный элемент часто называют единицей и используют для него обозначение 1=eM ; в аддитивных обозначениях, m_1\mathbin{\omega}m_2=m_1+m_2, нейтральный элемент обычно называют нулем и используют для него обозначение 0=0M.

Определение 1.2.8. Группоид (M,\omega) с бинарной операцией \omega: M\times M\to M называется полугруппой, если операция \omega ассоциативна; моноидом, если операция ассоциативна (т. е. это полугруппа) и в (M,\omega) существует нейтральный элемент e .

Замечания 1.2.9.

  1. Подгруппоид (L,\omega) полугруппы (M,\omega) является полугруппой и называется подполугруппой .
  2. Гомоморфизм (изоморфизм) группоидов, являющихся полугруппами, называется гомоморфизмом (изоморфизмом) полугрупп.
  3. Подмоноидом моноида (M,\omega,e_M) называется подполугруппа (L,\omega,e_M) (таким образом, подмножество L\subseteq M замкнуто относительно операции \omega ), содержащая нейтральный элемент eM.
  4. Если (M,\omega,e_M) и (M',\omega',e_{M'}) - моноиды, то под гомоморфизмом моноидов понимается гомоморфизм полугрупп f: (M,\omega,e_M)\to (M',\omega',e_{M'})
такой, что f(eM)=eM'. Ясно, что произведение гомоморфизмов моноидов - гомоморфизм моноидов, обратное отображение к изоморфизму моноидов - изоморфизм моноидов.

Определение 1.2.10. Пусть (M,\cdot,e_M) - моноид и m\in M.

  1. Элемент m'\in M, для которого mm'=eM, называется правым обратным элемента m .
  2. Элемент m''\in M, для которого m''m=eM, называется левым обратным элемента m .
  3. Элемент \bar m\in M называется двусторонним обратным элемента m , если mm=eM=mm (в этом случае элемент m называется обратимым ).

Лемма 1.2.11. Если в моноиде (M,\cdot,e_M) элемент m\in M имеет правый обратный m' и левый обратный m'', то m'=m'' и m является обратимым элементом.

Доказательство.

m'=eMm'=(m''m)m'=m''(mm')=m''eM=m''.

Следствие 1.2.12.

  1. Двусторонний обратный элемент m элемента m моноида (M\cdot,e_M) определен (если он существует) однозначно, для него используется мультипликативное обозначение m-1.
  2. Если для элемента m моноида (M,\cdot,e_M) существует обратный элемент m-1, то (m-1})-1=m.
  3. Если элементы x, y моноида (M,\cdot,e_M) обратимы с обратными x-1 и y-1, то (xy)-1=y-1x-1.

Действительно (при этом см. теорему 1.3.2), (y-1x-1)(xy)=y-1x-1xy=y-1eMy=y-1y=eM=yy-1=yeMy-1=xyy-1x-1=(xy)(y-1x-1).

Лекция 1: 12345 || Лекция 2 >
Надие Якубова
Надие Якубова
Ксения Голубова
Ксения Голубова